2. La dualité topologique
Le nom de Banach restera lié aux espaces vectoriels normés complets, appelés par lui espaces du type (B) et universellement dénommés de nos jours « espaces de Banach » (terminologie introduite par M. Fréchet en 1928). La notion d'espace normé général apparaît pour la première fois dans les travaux de Hahn et de Banach vers 1920 et s'épanouit sous l'influence de Banach et de ses élèves ; le livre fondamental réunissant ces résultats, Théorie des opérations linéaires, paraît à Varsovie en 1932. Les deux types principaux de résultats sont relatifs à la dualité et à l'utilisation systématique de la théorie de la catégorie : on se limitera ici à de brèves indications historiques (cf. espaces vectoriels normés pour des énoncés précis). Sur les autres travaux de Banach, on dira quelques mots du problème de la « mesure universelle » et de l'apparent « paradoxe » auquel il conduit.
L'étude de la dualité dans les espaces Lp de fonctions de puissance p-ième intégrale occupe une place centrale dans les travaux de F. Riesz, mais il appartenait à H. Hahn et à Banach, indépendamment l'un de l'autre, de développer cette étude dans le cadre des espaces normés généraux. Munissant l'espace vectoriel E′ des formes linéaires continues sur un espace vectoriel normé E d'une structure d'espace normé (la norme « duale »), complet si E est complet, ces auteurs résolvent le problème essentiel du prolongement à tout l'espace, avec conservation de sa norme, d'une forme linéaire continue sur un sous-espace (théorème de Hahn-Banach). Banach étudie aussi de manière détaillée les rapports entre une application linéaire et sa transposée, retrouvant, comme cas particulier, les résultats classiques sur les équations intégrales ; il dégage également le lien entre la compacité faible de la boule unité de l'isomorphisme entre un espace vectoriel E et son bidual E″ = (E′)′ (réflexivité).
Généralisant un résultat de Baire aux espaces métriques complets quelconques, Banach et Steinhaus montrent […]
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