2. Le corps des nombres complexes
• Construction
Par définition, un nombre complexe sera un couple z = (x, y) de deux nombres réels ; si z = (x, y) et z′ = (x′, y′) sont deux nombres complexes, on appelle alors somme et produit de ces deux nombres complexes les nombres complexes :
Il est alors facile de vérifier que, pour ces deux opérations, l'ensemble des couples de nombres réels est un corps, le corps C des nombres complexes ; par exemple, si z = (x, y) ≠ (0, 0), son inverse est le nombre complexe :
Il est aussi souvent commode de représenter géométriquement le nombre complexe z = (x, y) par le point M de coordonnées (x, y) dans le plan muni d'un système d'axes de coordonnées orthonormé ; M s'appelle l'image de z et il est clair que tout point M du plan est l'image d'un unique nombre complexe appelé affixe de M.
Les nombres complexes de la forme (x, 0) forment un sous-corps de C qui est isomorphe au corps R des nombres réels par l'application qui à (x, 0) fait correspondre x ; dans la suite, nous identifierons donc le nombre complexe (x, 0) au nombre réel x, ce qui fait apparaître R comme un sous-corps de C. Parmi les nombres complexes, les nombres réels ont donc pour images les points de l'axe Ox, appelé pour cette raison axe réel ; remarquons que si a est un nombre réel, le produit de a et du nombre complexe z = (x, y) est simplement az = (ax, ay).
Le nombre complexe i = (0 […]
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