3. Forme trigonométrique
• Trigonométrie
Les nombres complexes de module 1 peuvent être caractérisés comme les nombres complexes ≠ 0 dont le conjugué et l'inverse sont égaux ; on vérifie facilement qu'ils forment un groupe multiplicatif que nous désignerons par U. Les images des éléments de U sont les points du cercle de centre O et de rayon 1 (appelé souvent « cercle trigonométrique ») ; l'application qui au nombre complexe u ∈ U, d'image M, fait correspondre l'angle A(u) du demi-axe réel positif avec la demi-droite OM est un isomorphisme du groupe multiplicatif U sur le groupe additif des angles orientés de demi-droites et pourrait d'ailleurs servir à donner une définition rigoureuse de ces angles. L'étude du groupe U constitue ce qu'on appelle traditionnellement la trigonométrie ; l'outil pour définir de façon correcte les fonctions trigonométriques est la fonction exponentielle complexe.
Pour tout nombre réel t, le nombre complexe eit appartient à U. En effet, on voit facilement sur le développement en série de ez que le conjugué de ez est ez̄ pour tout nombre complexe z ; on a donc, en utilisant aussi (*),
Par définition, on appelle cos t et sin t respectivement les parties réelle et imaginaire de eit, soit :
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