Né à Düsseldorf, Felix Klein fit ses études à Bonn, à Göttingen et à Berlin. En 1872, il devint professeur de mathématiques à l'université d'Erlangen, où son cours inaugural fut l'énoncé des grandes lignes de son fameux programme d'Erlangen. Il enseigna ensuite à Munich (1875-1880), puis à l'université de Leipzig (1880-1886) et enfin à Göttingen (1886-1913). À partir de 1872, il édita les Mathematische Annalen de Göttingen et fonda, en 1895, la grande Encyclopédie mathématique, dont il supervisa la rédaction jusqu'à sa mort, à Göttingen. Il fut le chef incontesté de l'école mathématique allemande, et son influence fut très grande (il donna de nombreuses conférences à l'étranger, dont les États-Unis), notamment sur le développement de la géométrie, grâce à son programme d'Erlangen. Avec ce texte, publié dans son ouvrage Gesammelte mathematische Abhandlungen (1921-1923), Klein donne une définition de la géométrie englobant aussi bien la géométrie « classique » (c'est-à-dire euclidienne) que la géométrie « projective », les géométries « non euclidiennes », etc., mettant fin aux controverses stériles entre partisans de la géométrie « synthétique » et ceux de la géométrie « analytique ». Pour lui, une géométrie est l'étude des propriétés invariantes par un groupe donné de transformations : ainsi les théorèmes de géométrie classique sont l'expression de relations entre invariants du groupe des similitudes ; ceux de la géométrie projective entre covariants du groupe projectif. On doit aussi à Klein d'importants travaux sur l'équation différentielle hypergéométrique, sur les fonctions abéliennes, sur le groupe de l'icosaèdre régulier (Lectures on the Icosahedron, 1914), sur les fonctions elliptiques, à partir desquelles il dégage la notion de fonction modulaire (Vorlesungen über die Theorie der automorphen Funktionen, 1897-1902).
Jacques MEYER
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