Élie Cartan fut l'un des plus grands mathématiciens de son époque. Il possédait une intuition géométrique remarquable, aidée par une très grande aptitude à dominer les calculs les plus complexes. Il fut également un excellent professeur. Son œuvre considérable présente une grande unité ; elle gravite principalement autour de la théorie des groupes de Lie, systèmes différentiels, « groupes infinis » et de leurs applications à la géométrie différentielle ainsi qu'à la mécanique. É. Cartan fut un précurseur et, dans beaucoup de domaines, il fut à l'origine du développement des mathématiques modernes.
1. Étude des groupes de Lie et applications géométriques
Élie Cartan, né à Dolomieu (Isère) et mort à Paris, fut élève de l'École normale supérieure, acheva sa thèse en 1894, puis enseigna aux universités de Montpellier, Lyon, Nancy et Paris. Après sa retraite en 1940, il eut encore une grande activité scientifique et continua à enseigner à l'École normale supérieure de Sèvres. Il était le père du mathématicien Henri Cartan.
Les premiers travaux de Cartan (et notamment sa thèse), à la suite de ceux de Lie et de Killing, de nature purement algébrique, sont consacrés à ce qu'on appelle maintenant les algèbres de Lie (ce qui revient à une étude locale des groupes de Lie). Cartan établit la classification des algèbres de Lie simples sur le corps des complexes (quatre classes plus cinq algèbres exceptionnelles). Il étudie les algèbres de Lie semi-simples et montre qu'elles sont caractérisées par une forme quadratique non dégénérée. Ensuite, il détermine les représentations linéaires irréductibles des algèbres de Lie semi-simples, ce qui lui permet notamment de découvrir les représentations spinorielles des algèbres de Lie orthogonales (on connaît l'importance de ces théories en physique). En 1914, Cartan établit la classification des algèbres de Lie simples sur le corps des réels.
Cartan applique la théorie des groupes de Lie à la géométrie différentielle ; en 1910, il utilise les équations […]
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