2. Calcul différentiel extérieur
Ces derniers résultats utilisent la théorie des formes différentielles extérieures ; cette théorie (aujourd'hui classique et d'une très grande utilité en mathématiques et en physique) est au centre de l'œuvre de Cartan. Partant de l'algèbre extérieure de Grassmann et généralisant les formes de Pfaff, Cartan a introduit (vers 1900) les formes différentielles extérieures et l'opérateur d de différenciation extérieure qu'il a utilisés pour établir les équations de structure des groupes de Lie, des « groupes infinis », pour formuler la théorie du repère mobile et des « espaces généralisés » (courbure, torsion d'une connexion). Les formes différentielles sont des éléments d'intégrales multiples et leur introduction a permis l'énoncé précis de la formule de Stokes. À partir de ces formes, Cartan a développé sa théorie des invariants intégraux (notamment dans son livre paru en 1922), généralisant les résultats de Poincaré, et donnant ainsi à la mécanique analytique une impulsion nouvelle. En s'appuyant sur les théorèmes de G. de Rham reliant l'homologie d'une variété à la cohomologie des formes différentielles (l'opérateur d vérifie d2 = 0), Cartan utilise les formes différentielles invariantes sous l'action d'un groupe, pour étudier les propriétés globales des espaces homogènes et groupes de Lie (voir ci-dessus).
Cartan a étudié les systèmes différentiels : d'abord les systèmes de Pfaff (vers 1900), puis, à la suite des travaux de Kähler, les systèmes extérieurs de degré quelconque (dans son livre sur les systèmes différentiels paru en 1945). Il développe sa théorie de l'involution (un système Σ est involutif s'il existe une chaîne E1 ⊂ ...⊂ En d'éléments de contact intégraux de Σ) ; pour les systèmes analytiques, on a le théorème d'existence de Cartan-Kähler (de caractère local), associant à une chaîne d'éléments de contact intégraux une chaîne de variétés intégrales. Cette théorie est liée également à la théorie du problème d'équivalence locale (c'est-à-dire de l'isomorphisme local de structures d'« espace généralisé »). De grands progrès ont été accomplis dans ces domaines (la théorie de l'involution, étudiée du point de vue algébrique, a été rattachée à des théories cohomologiques).
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