La théorie des groupes de Lie, fondée dans la période de 1870-1880 par le mathématicien norvégien Sophus Lie, a d'abord été considérée comme une partie assez marginale des mathématiques, liée à des problèmes touchant les équations différentielles, les équations aux dérivées partielles et la géométrie différentielle. Leur étude générale a mis plus tard en évidence un certain nombre d'objets mathématiques particuliers, explicitement définis, les groupes semi-simples, dont on a peu à peu découvert le rôle fondamental dans presque toutes les parties des mathématiques modernes, même les plus éloignées en apparence des vues initiales de Lie. En outre, ces groupes semblent intervenir de façon de plus en plus profonde dans les conceptions récentes de la physique théorique, surtout en théorie de la relativité et en mécanique quantique.
On suppose connues les notions fondamentales relatives aux variétés différentielles et analytiques. On utilisera systématiquement ici les notions introduites dans l'article sur les groupes classiques, qui constituent les premiers et les plus importants exemples de groupes de Lie.
1. La structure des groupes de Lie généraux
Un groupe de Lie (appelé aussi groupe de Lie réel) est, par définition, une variété analytique réelle G (dite sous-jacente au groupe), munie d'une loi de composition (x, y) ↦ xy pour laquelle G est un groupe, et qui est telle que l'application (x, y) ↦ xy-1 de G × G dans G soit analytique. Une variété analytique complexe G munie d'une loi de composition (x, y) ↦ xy pour laquelle G est un groupe, et qui est telle que (x, y) ↦ xy-1 soit une application holomorphe de G × G dans G, est appelée groupe de Lie complexe ; un tel groupe peut évidemment aussi être considéré comme groupe de Lie réel (dit sous-jacent au groupe de Lie complexe), en n'envisageant que sa structure de variété analytique réelle. Dans un groupe de Lie réel (resp. complexe) G, les translations x ↦ ax, x ↦ xa et les automorphismes intérieurs :
… pour nos abonnés, l'article se prolonge sur 15 pages…
