ASYMPTOTIQUES CALCULS

Systèmes dans le champ réel

Plaçons-nous d'abord dans le cas d'un système linéaire à coefficients constants :

où A est une matrice carrée d'ordre n à coefficients complexes et x : t ↦ x (t) une fonction de classe C¹ sur [0, + ∞ [ à valeurs dans Cⁿ. Pour toute condition initiale a ∈ Cⁿ, l'unique solution du problème de Cauchy x(0) = a est donnée par :Lorsque A est diagonalisable, de valeurs propres λ₁ ...., λ_r, le comportement asymptotique de x(t) est gouverné par la valeur propre de plus grande partie réelle. En particulier, les solutions tendent vers 0 à l'infini si et seulement si, pour tout j, on a Re λ_j ≤ 0. Lorsque A n'est pas diagonalisable et que λ_j est d'indice n_j, il existe des solutions se comportant comme t^ke^jt, où 0 ≤ k ≤ n_j − 1. Les solutions tendent encore vers 0 à l'infini si et seulement si Re λ_j< 0.

Examinons maintenant l'effet d'une perturbation t ↦ R (t) de A sur le comportement asymptotique d'une solution du système linéaire (1). On peut conjecturer que, si la perturbation est assez petite à l'infini, ce comportement n'est pas notablement modifié. Plus précisément, supposons A diagonalisable et soit λ une valeur propre de A. Si l'intégrale :

est convergente, alors, pour tout vecteur propre b de A associé à la valeur propre λ, il existe une solution x et une seule de l'équation perturbée :telle que x(t) ∼ e^λt au voisinage de + ∞.

Par exemple, soit l' équation de Bessel réduite :

qui équivaut au système linéaire :ici :

Les fonctions t ↦ e^it, et t ↦ e^-it constituent une base de l'espace vectoriel des solutions de l'équation non perturbée u″ + u = 0. D'après le résultat précédent, il existe donc un couple (u₁, u₂) de solutions et un seul de l'équation perturbée tel que :

cette méthode donne donc le comportement asymptotique des fonctions de Bessel.

Si, maintenant, A n'est pas diagonalisable, il convient d'imposer à R des conditions plus strictes. Lorsque λ_j est d'indice n_j , on suppose que :

ce qui entraîne l'existence d'une solution x telle que :

Pour le comportement asymptotique des systèmes linéaires à cœfficients périodiques (par exemple, le théorème de l'équation séculaire des planètes), on se reportera à l'article équations différentielles, La théorie de Floquet.

Le champ complexe

Pour obtenir des développements asymptotiques des solutions d'un système différentiel dans le champ complexe, l'idée principale consiste à obtenir des représentations intégrales des solutions. On utilise ensuite des développements tayloriens ou on applique à ces intégrales les méthodes esquissées au chapitre 5.

Considérons, par exemple, une équation différentielle linéaire d'ordre n :

où a₀, a₁ ..., a_n sont des polynômes.

Pour obtenir des représentations intégrales des solutions, les méthodes sont très variées. Citons, par exemple, la méthode de Laplace, qui s'applique lorsque les polynômes a_j sont de degré ≤ 1 : on cherche les solutions sous la forme :

où L est un contour du plan complexe convenablement choisi. Ainsi, dans le cas de l'équation différentielle :on trouve v(z) = exp(− ζ³/3) et :où L est le contour décrit dans l'intégrale d'Airy (cf. La méthode du col, in chap. 5). Le comportement asymptotique de la solution s'en déduit.

On utilise aussi la méthode d'Euler, où :

pour un choix convenable de α et L. Une variante est la méthode de Mellin, où :

Nous nous bornerons à deux exemples significatifs, importants pour les applications.