3. Cas des intégrales
Il s'agit d'étudier le comportement asymptotique des restes des intégrales convergentes :
Cette étude s'effectue en deux étapes. On se ramène au cas où f appartient à une échelle classique de comparaison, grâce au théorème d'intégration des relations de comparaison :
Théorème. Si f et g sont positives et équivalentes au voisinage de + ∞, alors :
– dans le cas convergent :
– dans le cas divergent :
Les énoncés sont analogues pour les relations f = o (g) et f = O (g). En revanche, on ne peut pas toujours dériver les relations de comparaison ; par exemple :
Pour f appartenant à une échelle classique, si on ne dispose pas d'une primitive explicite, on effectue des intégrations par parties successives. Par exemple, le comportement asymptotique du logarithme intégral :
… pour nos abonnés, l'article se prolonge sur 9 pages…
