2. Développements asymptotiques
Dans ce chapitre, on supposera choisie une échelle de comparaison E (au voisinage d'un point a ou au voisinage de l'infini).
• Partie principale
L'idée la plus simple pour étudier le comportement d'une fonction donnée f (au voisinage de a ou de l'infini) est de chercher si, à une constante près, elle est équivalente à une fonction de l'échelle E choisie. S'il existe une telle fonction g de E et une constante c ≠ 0 telles que f ∼ cg, c et g sont déterminées de manière unique et on dit que cg est la partie principale de f (par rapport à l'échelle E) ; remarquons que cela équivaut à dire que :
ou encore que
f (
x)/
g(
x) tend vers une limite finie
c ≠ 0. Dans le cas où l'échelle choisie est (2) ou (3), on retrouve la notion usuelle de partie principale ; ainsi, 1/sin
x a pour partie principale 1/
x pour
x → 0,
ex −
ea a pour partie principale
ea(
x − a) pour
x →
a,
a pour partie principale 2
x pour
x → ∞. Remarquons que la partie principale n'existe pas nécessairement ; en effet, toutes les fonctions d'une échelle logarithmico-exponentielle sont positives pour
x assez grand et par suite une fonction « oscillante » (comme
x sin
x, qui s'annule dans tout voisinage de l'infini) n'est comparable à aucune fonction de ce type, pour
x → ∞. Il se peut aussi que l'échelle choisie ne soit pas assez « riche » et que
f croisse plus vite ou moins vite que toute fonction de l'échelle, ou encore tombe dans un « trou » de l'échelle : ainsi la fonction
x ln
x n'a pas de partie principale par rapport à l'échelle (2), car elle croît plus vite que
x et moins vite que
x2. […]
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