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ASYMPTOTIQUES CALCULS

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5. Cas des fonctions définies par des intégrales

Nous dégagerons ici trois méthodes importantes pour étudier le comportement asymptotique d'intégrales dépendant d'un paramètre lorsque ce paramètre tend vers l'infini.

• La méthode de Laplace

Considérons une fonction :

définie par une intégrale ; (a, b) est ici un intervalle quelconque, borné ou pas. Pour simplifier, nous supposerons que la fonction h admet un seul maximum. L'idée essentielle ici est que, sous cette hypothèse, c'est la partie de l'intégrale située au voisinage de ce maximum qui est prédominante pour t grand ; par suite, si on remplace la fonction g (x) e^th(x) par sa partie principale au voisinage de ce point, il est plausible que l'on obtienne, par intégration, la partie principale de I(t) pour t tendant vers l'infini. Nous nous limiterons à un cas particulier simple où le raisonnement ci-dessus est applicable. Plus précisément :

Théorème 1. Soit g et h deux fonctions continûment dérivables dans un intervalle [a, b[ borné ou pas (on suppose cependant a fini) telles que g (x) e^th(x) soit intégrable sur [a, b[ pour t assez grand. Supposons de plus que la fonction h admet un maximum pour x = a tel que h′(a) = 0, h″(a) < 0, et g(a) = 0 et que le maximum de h(x) dans tout sous-intervalle [a′, b[, avec a′ > a, est inférieur à h(a) ; on a alors :[…]

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Thématique

Classification thématique de cet article :

1. Mathématiques »
2. Analyse mathématique

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Média

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Voir aussi

MÉTHODE DE LA PHASE STATIONNAIRE • MÉTHODE DE LAPLACE • MÉTHODE DU COL • THÉORÈME DE CAUCHY

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B922461

Auteurs de l'article

Jean-Louis OVAERT (agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales)
Jean-Luc VERLEY (maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII)

Sommaire

Introduction
1. Comparaison de la croissance des fonctions
- Relations de comparaison
- Fonctions de comparaison et échelles de comparaison
2. Développements asymptotiques
- Partie principale
- Développements asymptotiques au sens de Poincaré
3. Cas des intégrales
4. Cas des séries
- Généralités
- Formule sommatoire d'Euler-Maclaurin
5. Cas des fonctions définies par des intégrales
- La méthode de Laplace
- La méthode de la phase stationnaire
- La méthode du col
6. Cas des solutions d'équations le champ réel et le champ complexe.
- Systèmes dans le champ réel
- Le champ complexe
Bibliographie

Composition de l'article

Nombre de pages : 10 pages
Références : 2 références
Thème : 1 thème
Média : 1 média
Bibliographie : 8 références

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