BOURBAKI NICOLAS (XX^e s.)

Nicolas Bourbaki est un pseudonyme désignant un groupe de mathématiciens français qui, depuis 1940, a entrepris de publier un traité intitulé Éléments de mathématique. De ces éléments ont été déjà publiées plus de trente monographies représentant un volume d'environ cinq mille pages. En plus de ce traité, Nicolas Bourbaki a aussi publié quelques articles et un livre d'histoire des mathématiques.

Les Éléments de mathématique sont censés prendre la mathématique à son début, du moins sur le plan logique. Ils sont donc, en principe, accessibles à un lecteur n'ayant aucune connaissance mathématique particulière. Le mode d'exposition est axiomatique et systématique, ce qui fait que l'ouvrage doit servir aux fondements effectifs de la mathématique et qu'il veut, en particulier, devenir un ouvrage fondamental de référence pour tous les mathématiciens. Ce titre montre que l'ambition de Bourbaki est d'être l'Euclide des temps modernes.

Sa synthèse ne peut cependant pas répondre à toutes les questions que posent l'existence et le développement de la mathématique. Aussi s'est-il attaché à fournir, en outre, sa vision de l'histoire des mathématiques, ajoutant des notices historiques à la plupart de ses ouvrages. Entrouvrant au bout de ses livres la porte de l'histoire, il a sans doute tenté, en même temps, d'échapper à l'accusation de dogmatisme, qu'on n'a pas manqué de porter contre lui et qui était inévitable dans une entreprise de cette nature.

Construction logique et ensembliste

Nicolas Bourbaki prend comme point de départ pour sa construction la logique formelle et la théorie des ensembles dont le langage est familier à tout jeune lycéen. Il introduit la notion de structure qui est le cœur de sa rigoureuse construction axiomatique. Les structures sont classées par degré de complexité. Et, de même que la chimie distingue les éléments simples à partir desquels tout peut être reconstruit, de même Bourbaki décrit les structures les plus complexes, et particulières, à partir de certaines structures, plus simples et plus générales. Il distingue les structures algébriques, qui interviennent dans toute l'algèbre, les structures topologiques, qui interviennent dans toute l'analyse, puis des structures combinées. Le corps des nombres réels est, à ce titre, une structure très compliquée : combinaison de deux structures algébriques (la loi d'addition et celle de multiplication) et d'une notion de limite. Il apparaît donc assez tard dans l'exposition bourbakiste, dont les titres de livres parus sont, dans l'ordre de publication : l'algèbre, la topologie générale, les espaces vectoriels topologiques, la théorie de l'intégration, les groupes et algèbres de Lie, l'algèbre commutative, les théories spectrales, les variétés, la théorie des ensembles, les fonctions d'une ou plusieurs variables réelles. Chacun des livres s'appuie sur les notions précédemment introduites, en les combinant entre elles.

Les traités classiques d'analyse de la fin du xix^e siècle, à la suite de Meray et Weierstrass, nous ont habitués à un autre mode d'exposition. Le point de départ en est la notion de nombre entier, d'où on déduit les fractions, puis les nombres réels, puis les fonctions numériques... Le dessein de ces mathématiciens était très proche de celui de Bourbaki : il s'agissait de donner des bases solides et commodes aux mathématiques de leur époque. L'immense majorité des mathématiciens contemporains et des utilisateurs des mathématiques ont été initiés en suivant ce plan, au sortir de leurs études élémentaires.

Dans l'esprit d'un large public s'est donc développée cette idée que la théorie des ensembles est synonyme de la mathématique contemporaine. Bourbaki, désigné par la renommée publique[...]