OSCILLATEURS

Premier exemple

Considérons un circuit électrique accordé (L, R, C), incorporé au circuit plaque d'une triode (Δ_n = 0 de degré 3 ou 2).

Si l'on désigne par M le coefficient d'induction mutuelle entre la self L et un bobinage inséré entre la grille et sa source de polarisation négative, L_g la self sur la grille, ρ_g la résistance de grille, V_p la tension plaque, V_g le potentiel de grille, et si l'équation caractéristique de la lampe est :

on obtient alors une équation du troisième degré en s :

pour laquelle on doit écrire les conditions de Routh. Dans le cas où ρ_g peut être considéré comme infini, cette équation se réduit à une équation du second degré :

Tout se passe alors comme si on était en présence d'un circuit accordé (L₁, R₁, C₁) avec :

Or M peut être négatif et assez grand en valeur absolue :

On peut prévoir, dans ce cas, si le schéma linéaire est encore valable, que le système physique sera le siège de phénomènes dont les amplitudes vont croître très rapidement avec le temps. Mais l'expérience montre que les amplitudes atteignent une valeur limite stable : cela correspond au fait que, dans l'équation caractéristique de la lampe, ρ et K ne restent pas constants sur un large domaine de variations de V_p et V_g. On peut encore dire que l'amplitude des oscillations s'établit de telle sorte qu'en moyenne la résistance R₁ puisse être considérée comme nulle pendant une période, le circuit cédant autant d'énergie qu'il en reçoit pour qu'il soit l'équivalent d'un oscillateur harmonique.

Deuxième exemple

Prenons ensuite le cas où Δ_n = 0 est une équation bicarrée en s. Considérons les deux équations linéaires :

Un tel système régit les phénomènes électriques dont est le siège un ensemble de deux circuits accordés couplés par une mutuelle M et dans lequel, subsidiairement, un amplificateur reçoit à l'entrée la tension aux bornes de C₂ (soit q₂/C₂) et fournit à la sortie la tension αq₂/C₂ ; on a effectivement dans ce cas :

et l'équation en s correspondante est :

La stabilité impose que :

et l'on voit que, si M est positif, on cesse d'avoir stabilité lorsque le coefficient α d'amplification en tension est supérieur à :

Un tel système régit également les mouvements de flexion q₁ et de torsion q₂ d'une aile d'avion (par conséquent, l'oscillateur électrique ci-dessus peut constituer un modèle sur lequel s'effectueraient éventuellement des mesures de vitesses critiques d'ailes vibrant en flexion-torsion). La force vive de l'aile, dans les vibrations de son schéma simplifié à deux degrés de liberté, peut s'exprimer par la forme quadratique en q′₁ et q′₂ :

où I₁, I₂ et I₁₂ sont des constantes ayant toutes trois les dimensions physiques d'un moment d'inertie. Si l'on désigne par Γ₁ et Γ₂ les coefficients de rappel élastique de flexion et de torsion dû à la structure de l'aile et si, lorsque l'avion avance avec la vitesse V, il en résulte un couple aérodynamique KV²q₂ proportionnel à la torsion et au carré de la vitesse et qui fait fléchir l'aile sans la tordre, les équations de flexion-torsion sont respectivement :

On conclut l'étude de la même façon que pour le modèle électrique (cf. supra, les conditions de la stabilité), et il existe donc une vitesse critique qu'il ne faut pas que l'avion atteigne, sinon il se produira une rupture d'aile.

Troisième exemple

Considérons enfin le cas où Δ_n = 0 est une équation du quatrième degré en s ou, plus particulièrement, une équation bicarrée en s. Une bobine de haut-parleur électrodynamique, par exemple, se déplace en translation dans le champ magnétique radial H d'un aimant ; on désigne par m sa masse et par K la dureté longitudinale du ressort qui rappelle cette bobine vers sa position d'équilibre ; on appelle x le déplacement de la bobine par rapport à cette position. Un circuit constitué d'une self L et d'une capacité C de charge q comporte en série un enroulement de longueur l monté sur la bobine. On monte sur cette bobine un second enroulement de fil qui crée une force électromotrice d'induction, laquelle, amplifiée par A, donne aux bornes de la résistance R₁ une tension αHlx′, aux bornes de la self L₁ une tension βHlx″ et aux bornes de la capacité C₁ une tension γHlx (ces trois tensions de réaction étant dues au courant de sortie de l'amplificateur A). On appelle x le déplacement de la bobine par rapport à cette position, q la charge du condensateur.

Les équations qui régissent les phénomènes électromécaniques étudiés sont :

et l'équation en s correspondante est :

ou :

Comme les branchements permettent de donner à α, β, γ les signes désirés, on s'arrange pour que β et γ soient positifs (dans la théorie générale de Routh, ce sont des conditions nécessaires de stabilité) et il faut de plus que les deux conditions de Routh b₀> 0 et b₁> 0 (conditions de la théorie générale appliquée à l'équation du quatrième degré traitée ci-dessus en cas particulier) soient satisfaites pour que la stabilité ait bien lieu.

Si l'on exerce la réaction sur le circuit électrique (L, C) uniquement par l'intermédiaire de la résistance R₁, les coefficients β et γ s'annulent et l'équation en s devient bicarrée. Les conditions de stabilité s'écrivent :

Si le coefficient (1 + α) devient négatif, et si sa valeur absolue est assez grande, des instabilités peuvent naître ; cela se produira si :

Dans le cas général où des équations de degré supérieur à 4 interviennent pour la variable s dans l'étude des schémas linéaires, il faut étudier la stabilité par la méthode de Routh, lourde mais efficace. Toutefois, on doit bien remarquer, en terminant, que cette méthode est en défaut lorsque la mise en équation du système est trop compliquée ou inextricable : il y a lieu, dans ce cas, de faire intervenir des courbes de description d'impédance ou de phase qui sont accessibles à des mesures et qui permettent de conclure en ce qui concerne la stabilité sans mettre en danger le fonctionnement et le bon état de marche de l'ensemble physique considéré.