OSCILLATEURS

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Systèmes à plusieurs variables

Il est rare que l'on puisse schématiser les phénomènes caractérisant un système physique à l'aide d'une seule variable q. Ainsi, par exemple, en mécanique et en électricité, on rencontre les modèles suivants qui sont caractérisés par deux paramètres dont les variations en fonction du temps sont régies par un système de deux équations différentielles.

Oscillateurs à deux paramètres

Dessin : Oscillateurs à deux paramètres

Oscillateurs à deux paramètres. (Dans le cas où R1 et R2 sont négligeables, on remarquera l'analogie entre les équations régissant les deux systèmes.) 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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De manière générale, pour deux variables, on écrit le système différentiel linéaire :

Du fait que q1 et q2 interviennent dans chaque équation de ce système, on dit que les variables sont couplées. On recherche une solution particulière sous la forme :

où K1 et K2 ne doivent pas être nuls tous les deux ; dans ces conditions, K1, K2 et s obéissent au système algébrique suivant, linéaire et homogène par rapport aux inconnues K1 et K2 :
ou :
avec :
On doit donc écrire que le déterminant Δ(s) :
est nul pour que ce système admette une solution non banale, ce qui conduit à une équation du quatrième degré en s, qui admet quatre racines s1, s2, s3, s4 (sp avec p = 1, 2, 3, 4), réelles ou complexes, distinctes ou confondues. Comme l'équation en s est à coefficients réels, dès qu'elle admet une racine complexe, elle admet aussi la racine conjuguée. Pour s = sp :

Dans le cas où les racines sp sont toutes distinctes, la solution générale du système différentiel est :

Si certaines racines sont multiples, l'exponentielle correspondante est multipliée par un polynôme dont le degré est égal à la multiplicité de la racine diminuée d'une unité ; ainsi, dans le cas d'une racine triple, le polynôme sera du second degré.

À titre d'exemple d'intégration, envisageons le cas de deux disques rappelés par des ressorts travaillant en torsion et supposons que I1 = I2 = I, Γ1 = Γ2 = Γ ; les racines en s sont ± iω, ± iω3, avec ω = Γ/I, ρ(± iω) = 1, et ρ(± iω3) = − 1. Les amplitudes de torsion ont pour expressions :

et :

Oscillateurs à deux paramètres

Dessin : Oscillateurs à deux paramètres

Oscillateurs à deux paramètres. (Dans le cas où R1 et R2 sont négligeables, on remarquera l'analogie entre les équations régissant les deux systèmes.) 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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On voit que α1 et α2 ne sont pas des fonctions périodiques du temps, bien qu'elles soient des combinaisons linéaires de fonctions sinusoïdales du temps (mais dont les périodes ne sont pas commensurables, puisque ω2

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Oscillateurs harmoniques

Oscillateurs harmoniques
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Oscillateurs à deux paramètres

Oscillateurs à deux paramètres
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Haut-parleur électrodynamique

Haut-parleur électrodynamique
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  • : professeur au Conservatoire national des arts et métiers

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Pour citer l’article

Michel CAZIN, « OSCILLATEURS », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 07 octobre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/oscillateurs/