Universalis
Abonnez-vous à Universalis pour 1 euro

OSCILLATEURS

  • Article mis en ligne le
  • Modifié le
  • Écrit par

Systèmes à plusieurs variables

Oscillateurs à deux paramètres - crédits : Encyclopædia Universalis France

Oscillateurs à deux paramètres

Encyclopædia Universalis France

Il est rare que l'on puisse schématiser les phénomènes caractérisant un système physique à l'aide d'une seule variable q. Ainsi, par exemple, en mécanique et en électricité, on rencontre les modèles suivants qui sont caractérisés par deux paramètres dont les variations en fonction du temps sont régies par un système de deux équations différentielles.

De manière générale, pour deux variables, on écrit le système différentiel linéaire :

Du fait que q1 et q2 interviennent dans chaque équation de ce système, on dit que les variables sont couplées. On recherche une solution particulière sous la forme :

où K1 et K2 ne doivent pas être nuls tous les deux ; dans ces conditions, K1, K2 et s obéissent au système algébrique suivant, linéaire et homogène par rapport aux inconnues K1 et K2 :
ou :
avec :
On doit donc écrire que le déterminant Δ(s) :
est nul pour que ce système admette une solution non banale, ce qui conduit à une équation du quatrième degré en s, qui admet quatre racines s1, s2, s3, s4 (sp avec p = 1, 2, 3, 4), réelles ou complexes, distinctes ou confondues. Comme l'équation en s est à coefficients réels, dès qu'elle admet une racine complexe, elle admet aussi la racine conjuguée. Pour s = sp :

Dans le cas où les racines sp sont toutes distinctes, la solution générale du système différentiel est :

Si certaines racines sont multiples, l'exponentielle correspondante est multipliée par un polynôme dont le degré est égal à la multiplicité de la racine diminuée d'une unité ; ainsi, dans le cas d'une racine triple, le polynôme sera du second degré.

À titre d'exemple d'intégration, envisageons le cas de deux disques rappelés par des ressorts travaillant en torsion et supposons que I1 = I2 = I, Γ1 = Γ2 = Γ ; les racines en s sont ± iω, ± iω√3, avec ω = √Γ/I, ρ(± iω) = 1, et ρ(± iω√3) = − 1. Les amplitudes de torsion ont pour expressions :

et :

On voit que α1 et α2 ne sont pas des fonctions périodiques du temps, bien qu'elles soient des combinaisons linéaires de fonctions sinusoïdales du temps (mais dont les périodes ne sont pas commensurables, puisque ω2/ω1 = T1/T2 = √3, qui n'est pas un quotient de deux entiers). Dans ce cas, les fonctions α1 et α2 sont bornées. On voit qu'il en sera de même chaque fois que l'équation Δn(s) = 0 n'admettra pas de racine positive ou à partie réelle positive. Or, le théorème de Routh permet d'exprimer très généralement qu'un polynôme en s de degré n (n'admettant pas de parité donnée, c'est-à-dire ni pair, ni impair) a toutes ses racines négatives ou à partie réelle négative ; il se traduit par des règles qui s'appliquent simplement. Soit le polynôme (ni pair, ni impair) :

où a0 peut être choisi positif sans que rien ne soit changé à l'étude des racines de l'équation Δn = 0. On place les coefficients de l'équation sur deux lignes :
puis on constitue une nouvelle ligne :
et ensuite une nouvelle ligne :
et ainsi de suite, jusqu'à épuisement des termes ainsi formés ; on remarque que, toutes les deux lignes, le nombre des termes diminue d'une unité, et il y a finalement une ligne qui ne comporte qu'un seul terme et qui finit le tableau (on remarque que si le polynôme était pair ou impair, cas exclus, une des deux premières lignes de coefficients serait une ligne de zéros). Les conditions nécessaires et suffisantes, dites conditions de Routh, pour que l'équation Δn = 0 ait toutes ses racines à partie réelle négative sont que tous les termes de la première colonne du tableau complet ainsi formé soient positifs : a0 > 0, a1 > 0, b0 > 0, b1 > 0 ... ; par exemple, pour le polynôme :
ces conditions nécessaires[...]

La suite de cet article est accessible aux abonnés

  • Des contenus variés, complets et fiables
  • Accessible sur tous les écrans
  • Pas de publicité

Découvrez nos offres

Déjà abonné ? Se connecter

Écrit par

  • : professeur au Conservatoire national des arts et métiers

Carte mentale
Élargissez votre recherche dans Universalis

Classification

Pour citer cet article

Michel CAZIN. OSCILLATEURS [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Article mis en ligne le et modifié le 14/03/2009

Médias

Oscillateurs harmoniques - crédits : Encyclopædia Universalis France

Oscillateurs harmoniques

Encyclopædia Universalis France

Oscillateurs à deux paramètres - crédits : Encyclopædia Universalis France

Oscillateurs à deux paramètres

Encyclopædia Universalis France

Haut-parleur électrodynamique - crédits : Encyclopædia Universalis France

Haut-parleur électrodynamique

Encyclopædia Universalis France

Autres références

  • FORCES D'OSCILLATEUR

    • Écrit par
    • 349 mots

    Nombre d'oscillateurs classiques ayant la même absorption qu'un atome réel dans un certain état.

    Avant la théorie atomique de Bohr, les physiciens assimilèrent les atomes à des oscillateurs harmoniques. Cette théorie des oscillateurs, due à Lorentz, permet de traiter de façon complète...

  • HYPERFRÉQUENCES

    • Écrit par
    • 9 898 mots
    • 17 médias
    Pour qu'un klystron à deux cavités fonctionne en oscillateur, il suffit d'établir une boucle de réaction entre les deux rhumbatrons à l'aide d'un tronçon de ligne coaxiale de longueur déterminée, ou mieux d'utiliser un klystron reflex.

  • LASERS

    • Écrit par et
    • 10 742 mots
    • 4 médias
    Laser solide Nd-YAG et laser à gaz hélium-néon - crédits : Encyclopædia Universalis France
    ...miroirs – augmente à chaque aller et retour de cette lumière. En théorie, cette amplitude pourrait augmenter indéfiniment : le résonateur est devenu un « oscillateur lumineux » engendrant une lumière dont l'intensité croît – au moins dans notre modèle simple – sans limites. Le laser est donc une source...

  • MAGNÉTOSTRICTION

    • Écrit par
    • 1 482 mots
    • 4 médias
    Pour étudier les effets dynamiques de la magnétostriction, considérons, de manière très schématique, le cas d'un barreau allongé. Un enroulement AA′, parcouru par un courant continu, détermine l'état magnétique moyen du matériau, correspondant à un point (H0,B0) du cycle d'hystérésis....
  • Afficher les 13 références
Abonnez-vous à Universalis pour 1 euro

Rejoignez-nous

Inscrivez-vous à notre newsletter