CALCUL INFINITÉSIMALCalcul à plusieurs variables

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Exposé moderne de la théorie élémentaire

Dérivée première

Soit E et F deux espaces normés, et Ω un ensemble ouvert de E : on dit que deux fonctions continues f et g (définies sur Ω et à valeurs dans F) admettent un contact d'ordre r (où r est un nombre entier) au point A ∈ Ω si le rapport :

tend vers 0 lorsque M tend vers A. En particulier, lorsque = 1 on dit que f et g sont tangentes au point A ; cette définition implique que f (A) = g (A).

Une fonction continue f (définie sur Ω et à valeurs dans F) est dérivable en A ∈ Ω, s'il existe une fonction continue affine :

(où L est une application linéaire continue de E dans F, c'est-à-dire un élément de L(E,F) qui est tangente à f au point A). L s'appelle aujourd'hui la dérivée de f au point A (dans l'ancienne terminologie, c'était la «  différentielle au sens de Stolz-Fréchet » ou plus brièvement la différentielle de f au point A). On la note d'ordinaire D1(A). Lorsque f est dérivable en tout point de Ω, la fonction dérivée est l'application A ↦ D1(A) définie dans Ω et à valeurs dans L(E,F). On dit que f est continûment dérivable (ou encore de classe C1) si la fonction dérivée est continue, lorsqu'on munit L(E,F) de sa norme usuelle :

Dans le cas particulier où E = Rn et F = R, toute fonction de classe C1 admet des dérivées partielles continues et la dérivée de f au point de coordonnées (x1x2, ..., xn) est la forme linéaire qui associe au vecteur de coordonnées (dx1dx2, ..., dxn) le nombre :

la dérivée coïncide donc avec la « différentielle totale » d'Euler (cf. chap. 1).

Lorsque E = Rn et F = Rp  la fonction f est définie par p fonctions numériques f1, f2,..., fp. La dérivée de f en un point de coordonnées (x1x2, ..., xn) est, lorsqu'elle existe, l'application linéaire appartenant à L(Rn, Rp) définie par la matrice jacobienne des fonctions fj ( ≤ p) par rapport aux variables xi (i ≤ n).

Une fonction qui possède des dérivées partielles en chaque point de Ω n'est pas nécessairement dérivable, comme le montre l'exemple de la fonction scalaire :

(prolongée par f (0, 0) = 0). Son graphe est un demi-cône dont le sommet [...]

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Pour citer l’article

Georges GLAESER, « CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à plusieurs variables », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 16 janvier 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-infinitesimal-calcul-a-plusieurs-variables/