CALCUL INFINITÉSIMALCalcul à plusieurs variables

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La théorie fine contemporaine

L'œuvre de H. Whitney

Le mathématicien américain Hassler Whitney, dont la contribution à des branches très variées des mathématiques a été souvent décisive (théorie des graphes, topologie algébrique et différentielle, axiomatisation de la notion de variété ou de produit tensoriel, étude des ensembles analytiques réels, etc.), est le véritable initiateur du renouveau du calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables. Parmi ses contributions, citons :

Le théorème du prolongement (1934). En chaque point d'un ensemble fermé F quelconque de Rn on se donne un polynôme à n variables de degré inférieur ou égal à m. Whitney énonce une condition nécessaire et suffisante pour qu'un tel champ de polynômes soit la restriction à F du champ des polynômes de Taylor d'une fonction f de classe Cm. Ce théorème permet, en particulier, de construire des fonctions f de classe Cm ayant certaines singularités données à l'avance : on commence par se donner l'ensemble F des points singuliers puis l'on cherche à prolonger un champ de polynômes défini sur F. Indiquons que ce théorème est encore valable pour = ∞. Un cas particulier très important est celui où F se réduit à un seul point ; on obtient le théorème d'É. Borel généralisé à n variables : « Il existe une fonction f de classe C dont les dérivées partielles prennent en un point donné des valeurs arbitrairement choisies. » En d'autres termes, la série de Taylor d'une fonction de classe C peut être n'importe quelle série formelle.

Caractérisation des idéaux fermés de fonctions différentiables. L'ensemble des fonctions numériques de classe Cm définies sur un pavé compact K constitue une algèbre de Banach (lorsque m est fini) pour la norme de la convergence uniforme d'ordre m (c'est-à-dire de la convergence uniforme de chacune des dérivées partielles). La structure des idéaux de cette algèbre est d'une grande complexité, mais H. Whitney a démontré, en 1944, le théorème suivant concernant les idéaux fermés.

Théorème. Pourqu'une fonction f de classe Cm sur K appartienne à un idéal fermé I, il faut et il suffit qu'à chaque point de K on puisse associer une fonction g∈ I telle que f et gA aient les mêmes polynômes de Taylor en A. Ce théorème signifie que l'appartenance ponctuelle à I implique l'appartenance globale.

Classification des singularités

En 1925, le mathématicien américain Marston Morse a inauguré l'étude des singularités des fonctions de classe Cm en montrant que l'on pouvait approcher toute fonction numérique f de classe Cm à n variables par des fonctions dont les seuls points singuliers sont des points isolés critiques (c'est-à-dire dont la dérivée s'annule) dont la dérivée seconde est une forme bilinéaire associée à une forme quadratique non dégénérée. Il montra en outre qu'il était possible de transmuer un tel point singulier, à l'aide d'un difféomorphisme local, en une fonction qui est une somme algébrique des carrés des coordonnées.

Ainsi, on abandonne l'étude inextricable de toutes les singularités possibles pour ne s'intéresser qu'à des singularités génériques auxquelles on peut toujours se ramener grâce à une approximation et à une transmutation.

En 1955, H. Whitney résout la même question concernant les applications du plan R2 sur le plan R2. Il met en évidence deux singularités génériques : le pli qui se ramène au modèle (x,y) ↦ (x2,y) et la fronce dont le modèle est (x,y) ↦ (x− 3 xy, y). Dans ces travaux, un rôle essentiel est joué par le théorème d'A. Sard (1942), dont le cas particulier simple relatif aux fonctions C avait déjà été démontré par Morse :

Théorème. Étant donné une application de classe Cm de Rn dans Rp la mesure au sens de Lebesgue de l'image des points singuliers est nulle lorsque ≥ n − p + 1 (Whitney a construit un exemple montrant que cette inégalité est nécessaire).

Utilisant ce résultat, R. Thom a démontré un théorème de transversalité qui, généralisant la méthode de Morse, indique dans quelle condition une application f de Rn dans Rp peut être approchée par des fonctions n'ayant que des singularités dûment cataloguées.

Les cas p=2n+1, p=2n et p=2n−1, entièrement élucidés par Whitney, constituent son célèbre théorème du plongement selon lequel toute variété différentiable à n dimensions abstraite, peut être réalisée comme sous-ensemble d'un espace R2n. On peut même se contenter d'un espace R2n-1 si l'on accepte de laisser subsister des « self-intersection ». Par exemple, la « bouteille de Klein » peut être réalisé [...]

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Pour citer l’article

Georges GLAESER, « CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à plusieurs variables », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 22 septembre 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-infinitesimal-calcul-a-plusieurs-variables/