Après la mort de Georg Friedrich Bernhard Riemann, son œuvre fut publiée en un seul volume, y compris les fragments posthumes, et cette brièveté ne tient pas seulement à la fin précoce du mathématicien : d'une part, ses démonstrations sont très intuitives, souvent incomplètes, sinon absentes ; d'autre part, il publiait, à de longs intervalles, des mémoires patiemment mûris. La nouveauté des notions et des méthodes qu'on y trouvait et l'intuition géniale qui les animait donnèrent aux mathématiques un élan encore perceptible aujourd'hui.
Riemann, comme la plupart des mathématiciens de son époque, s'intéressait aussi, et de façon suivie, à la physique, et publia des mémoires sur de nombreux sujets : lois de répartition de l'électricité statique, contribution à l'électrodynamique, propagation d'ondes atmosphériques planes, mécanique de l'oreille, etc.
Né dans un village du royaume de Hanovre, Riemann fit ses études supérieures et sa courte carrière universitaire à Göttingen. Il passa en Italie la plus grande partie de ses quatre dernières années : à l'époque, c'était le seul soulagement à la maladie pulmonaire qui le minait ; c'est ainsi qu'il repose dans un petit cimetière proche du lac Majeur.
1. Surfaces de Riemann
La thèse de Riemann (dissertation inaugurale), soutenue à Göttingen en décembre 1851 et intitulée Principes fondamentaux pour une théorie générale des fonctions d'une variable complexe, contient à elle seule plusieurs des découvertes auxquelles son nom est resté attaché. Au chapitre V, il explique en deux pages comment l'on peut faire décrire à la variable complexe z, au lieu du plan, une surface T à portions superposées recouvrant ce plan, il définit ce qu'il appelle déjà point de ramification d'ordre m − 1 de T et il montre ce que l'on gagne en généralité à considérer des fonctions holomorphes sur T. Ces explications ont à peine vieilli : aujourd'hui, on dit que l'espace connexe T est une surface de Riemann étalée dans le plan C̄ achevé (obtenu par adjonction d'un point ∞), s'il existe une application ϕ continue […]
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