Avec son ami et contemporain Jacobi et son cadet de quelques années Kummer, Dirichlet constitue la première génération des mathématiciens allemands après Gauss, dont naturellement ils subissent très fortement l'influence ; mais, alors que celui-ci était resté très à l'écart et n'avait pratiquement pas eu d'élèves, ce sont eux qui fondent véritablement la grande école allemande du xixe et du xxe siècle.
Les travaux de Dirichlet en analyse et dans les applications de cette dernière à la mécanique ou à la physique mathématique témoignent d'une grande virtuosité de calcul, mais à laquelle s'allient un sens aigu de la rigueur et un penchant tout moderne pour les preuves « conceptuelles » débarrassées de calculs parasites.
Mais le sujet de prédilection de Dirichlet, pendant toute sa carrière, a été la théorie des nombres, où il a fait ses plus belles découvertes. On lui doit deux outils puissants : le célèbre principe des tiroirs et les séries de Dirichlet dont il sut montrer toute la fécondité.
1. Travaux d'analyse
Dirichlet est beaucoup plus soigneux et rigoureux que Cauchy lui-même, et ses démonstrations de convergence (les premières en date) des développements en série de Fourier ou en série de polynômes de Legendre sont restées des modèles à cet égard.
Dans une étude de quelques pages sur le potentiel, il introduit l'intégrale de Dirichlet :
En mécanique, enfin, on ne peut omettre de mentionner sa célèbre démonstration en quelques lignes de la condition classique d'équilibre d'un système matériel, là où ses prédécesseurs se perdaient en considérations peu probantes fondées sur des développements en série plus ou moins valables.
2. Théorie des nombres
Dirichlet était un des rares mathématiciens de sa génération à connaître à fond les Disq […]
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