Développée d'abord comme moyen de classification des différentes apparences du même groupe G comme groupe de transformations linéaires, la théorie des représentations linéaires est devenue un des outils les plus puissants pour l'étude de la structure de G. En particulier, les caractères irréductibles d'un groupe fini G, introduits pour mieux classer les représentations linéaires, sont vitaux pour la théorie moderne des groupes simples.
1. Représentation des groupes
À chaque système mathématique S est associé son groupe de symétries (ou d'automorphismes) Σ(S). On considère ces groupes Σ(S) comme étant concrets. Une représentation R d'un groupe quelconque G comme groupe de symétries de S est un homomorphisme σ ↦ Rσ de G dans le groupe concret Σ(S). Elle donne une réalisation de la loi de composition abstraite de G comme loi de composition concrète dans Σ(S).
La théorie des représentations cherche les conséquences, pour les deux structures S et G, de l'existence d'une représentation R, et les utilise pour démontrer des théorèmes qui n'ont quelquefois rien à voir avec les représentations ; par exemple, le théorème de Feit et Thompson : tout groupe d'ordre impair est résoluble. Seules les relations entre S et G étant intéressantes, la tendance moderne est de les définir directement et de supprimer le groupe Σ(S) et l'homomorphisme R. Voici, sur un exemple, comment on procède.
Une opération d'un groupe G sur un ensemble E est une loi de composition externe, envoyant tout élément σ de G et tout élément x de E sur un élément σx de E, et suppose que cette loi satisfait aux conditions :
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