3. Les généralisations
La théorie classique, exposée ci-dessus, a été au fil des années généralisée de plusieurs façons. L'une d'elles consiste à remplacer le corps C des nombres complexes par un autre corps K. Si le corps K est de caractéristique zéro, ou p (l'entier p étant un nombre premier qui ne divise pas l'ordre fini |G| de G), la théorie des représentations linéaires de G sur les espaces vectoriels de dimension finie sur K se réduit facilement à la théorie classique des caractères complexes de G, et l'on n'obtient aucune notion nouvelle. Par contre, si la caractéristique p de K est un nombre premier qui divise l'ordre |G|, on trouve une nouvelle famille de représentations irréductibles et de caractères de G, les caractères modulaires. L'étude de ces caractères modulaires et de leurs relations avec les caractères complexes, due surtout à R. Brauer, a permis de trouver, pour ces derniers, des lois et identités nouvelles. Plusieurs théorèmes importants sur les groupes simples n'ont pu être démontrés que grâce à la théorie de ces caractères.
Une autre famille de généralisations de la théorie classique concerne les représentations unitaires continues d'un groupe topologique sur un espace de Hilbert. Un groupe topologique G est un groupe muni d'une topologie par rapport à laquelle la multiplication et l'inversion sont des applications continues. Un espace hilbertien V est un espace vectoriel sur les nombres complexes C muni d'un produit hermitien (u | v) (c'est-à-dire une application de V × V dans C telle que l'application u ↦ (u | v) est linéaire pour tout v dans V, (u | v) =
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