Les problèmes que pose tout enseignement sont extrêmement complexes ; ils sont liés à l'état de la société, à sa structure, à son développement économique et technique et à l'idée qu'elle se fait de son avenir. Les aborder dans leur totalité et leur généralité n'est pas possible ici ; on se limitera aux aspects spécifiques de l'enseignement des mathématiques, en soulignant dès l'abord que tout enseignement scientifique prépare l'avenir en utilisant les conquêtes du passé et qu'il joue, à l'échelle de la société, le rôle de la mémoire à celle de l'individu. Comme elle, il peut dégénérer en un radotage stérile ; comme elle, il peut être une organisation intelligente du connu, qui permet de distinguer le connu de l'inconnu et de préparer l'exploration de ce dernier.
À cet égard, l'enseignement des mathématiques a un rôle capital et, semblerait-il a priori, un rôle facile à jouer. Cependant, son rendement a été jusqu'à présent assez faible, ce que traduit la croyance en une « bosse des maths » dont ne seraient pourvus qu'une faible proportion des hommes. C'est qu'il se heurte à des problèmes qui ont été mal cernés, ou attaqués avec insuffisamment de résolution. Mettre en lumière les principaux d'entre eux est l'ambition de cet article.
1. Méconnaissance d'une évolution
• La croyance en l'invariabilité
Une première et très grave erreur qui a été commise par l'enseignement des mathématiques a été de ne pas tenir compte de l'évolution de la science au cours des âges, soit que cette évolution ait été presque totalement ignorée, soit qu'elle n'ait été perçue que comme un développement purement quantitatif. Consciemment ou non, l'enseignement s'est souvent comporté comme si toute théorie mathématique était parfaite dès son apparition et comme si le travail des générations de mathématiciens n'avait eu pour objet et pour résultat qu'une accumulation de théorèmes et de théories.
Or, si la mathématique ne remet jamais en cause la validité d'un théorème correctement démontré, elle modifie, […]
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