MATHÉMATIQUES ENSEIGNEMENT DES

Situations et modèles

Ce que l'on appelle la réalité, ou l'univers réel, ou le monde concret des phénomènes, dans lequel nous sommes plongés et dans lequel nous vivons, peut paraître simple, parce que familier sous certains de ses aspects, à l'observateur superficiel. La moindre réflexion le révèle immense, complexe, opaque et insondable. Le saisir dans sa totalité et dans toute sa profondeur est l'objet d'un souhait qui est peut-être légitime, mais qui n'a jamais été exaucé. Inconsciemment, le plus souvent, dans nos activités pratiques, consciemment dans l'investigation scientifique, nous restreignons notre ambition et nous limitons le domaine de notre exploration. La première démarche scientifique est en effet la détermination d'une situation, c'est-à-dire la délimitation d'un champ d'activité restreint à l'intérieur d'un champ plus vaste, la fixation des objectifs que l'on se propose d'atteindre et des aspects auxquels on accordera son attention. Le choix des situations caractérise une science, au moins à chaque stade important de son développement : distinction par exemple des propriétés physiques et chimiques, ou des propriétés macroscopiques et microscopiques.

Si la situation est dans la réalité, elle n'en est qu'une partie, et une première erreur consiste à oublier cet aspect partiel de la situation.

L'explication scientifique s'efforce de créer ensuite un modèle qui permettra de rendre compte de la situation, de la rendre intelligible et d'être capable de prévision à son sujet. Les modèles les plus maniables sont les modèles mathématiques, et il n'y a pas lieu de manifester à ce propos une quelconque fierté de mathématicien, car on pourrait prétendre, après tout, que c'est une infirmité de l'homme de ne vraiment comprendre que cette mathématique qu'il a faite et qu'il continue à faire. Un bon modèle doit avoir des propriétés intrinsèques de cohérence et de commodité ; les assurer est le propre du travail mathématique. Les propriétés de la situation concrète que l'on retient dans le modèle sont les points de départ, les axiomes, de la déduction que l'on opérera à ce propos et au cours de laquelle on devra soit utiliser des outils mathématiques déjà existants, soit en créer de nouveaux.

Mais il est une autre propriété que doit posséder le modèle – elle n'est pas du ressort de la mathématique, n'est jamais parfaite et doit pouvoir sans cesse être remise en question –, c'est d'être adéquat à la situation qu'il est censé représenter. Il est rare qu'il la représente sans simplification, ni distorsion : il faut savoir en évaluer l'importance et savoir décider, par exemple, s'il est plus avantageux d'utiliser un modèle simple mais relativement peu fidèle, ou un modèle moins maniable mais plus adéquat. Plusieurs modèles différents[...]