Un sous-ensemble C d'un espace vectoriel réel E est dit convexe si, pour tout couple de points quelconques de C, le segment qui a pour extrémités ces deux points est entièrement contenu dans C. Par exemple, un cube est convexe, mais sa surface ne l'est pas, car elle ne contient le segment d'extrémités x et y que si x et y appartiennent à la même face. Les ensembles convexes interviennent dans de nombreux domaines des mathématiques et il est souvent possible, en pareil cas, d'obtenir d'intéressants résultats en ne faisant appel qu'à des arguments « géométriques » relativement élémentaires.
Minkowski (1864-1909) fut le premier à étudier systématiquement les ensembles convexes et ses œuvres contiennent la plupart des idées importantes utilisées pour ce sujet. Les premiers développements se limitaient aux espaces vectoriels de dimension finie et l'objet principal de ces études était de résoudre des problèmes de nature quantitative ; depuis 1940, les aspects combinatoires et qualitatifs ont bénéficié d'une plus grande attention. Après quelques préliminaires généraux, on traitera d'abord les aspects quantitatifs et combinatoires, en se limitant au cas où l'espace est de dimension finie ; on abordera ensuite les aspects qualitatifs de la théorie et ses applications à l'analyse fonctionnelle.
Un des aspects les plus fascinants de la théorie des ensembles convexes est le grand nombre de problèmes très faciles et intuitifs à formuler que l'on ne sait pas toujours résoudre.
1. Propriétés générales
• Définitions
Soit x et y, deux points distincts d'un espace vectoriel réel E (cf. algèbre linéaire). Par analogie avec le cas de l'espace usuel R3 (représentation paramétrique de la droite définie par deux points), on appelle droite joignant x et y l'ensemble des points de E de la forme :
… pour nos abonnés, l'article se prolonge sur 7 pages…
