Un sous-ensemble C d'un espace vectoriel réel E est dit convexesi, pour tout couple de points quelconques de C, le segment qui a pour extrémités ces deux points est entièrement contenu dans C. Par exemple, un cube est convexe, mais sa surface ne l'est pas, car elle ne contient le segment d'extrémités xet yque si xet yappartiennent à la même face. Les ensembles convexes interviennent dans de nombreux domaines des mathématiques et il est souvent possible, en pareil cas, d'obtenir d'intéressants résultats en ne faisant appel qu'à des arguments « géométriques » relativement élémentaires.
Minkowski (1864-1909) fut le premier à étudier systématiquement les ensembles convexes et ses œuvres contiennent la plupart des idées importantes utilisées pour ce sujet. Les premiers développements se limitaient aux espaces vectoriels de dimension finie et l'objet principal de ces études était de résoudre des problèmes de nature quantitative ; depuis 1940, les aspects combinatoires et qualitatifs ont bénéficié d'une plus grande attention. Après quelques préliminaires généraux, on traitera d'abord les aspects quantitatifs et combinatoires, en s […]
Autres références
« CONVEXITÉ » est également traité dans :
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CONVEXITÉ
Auteur :
Victor KLEE
La convexité,étude des ensembles et des fonctions convexes, constitue une branche de la géométrie et de l'analyse qui unifie des phénomènes à première vue totalement dissemblables. Elle intervient à divers niveaux dans des branches très variées des mathématiques : théorie des nombres, problèmes combinatoires, analyse fonctionnelle et app…
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CONVEXITÉ - Fonctions convexes
Auteur :
Robert ROLLAND
L'étude des fonctions convexes a permis de fournir un cadre dans lequel peut se résoudre toute une classe de problèmes d'analyse fonctionnelle non linéaire ; les problèmes ainsi abordés sont des questions d'optimisation provenant de divers domaines : la mécanique, l'économie, les équations aux dérivées partielles, l'analyse numérique. Compte tenu…
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HILBERT ESPACE DE
Auteurs :
Lucien CHAMBADAL, Jean-Louis OVAERT
Dans le chapitre "Espaces hilbertiens" : …
s'appuie sur le théorème suivant. Théorème 8.Soit E un espace hermitien, F une partie *convexe complète non vide de E, et x un élément de E. Il existe alors un élément z de F et un seul tel que : où : On montre pour cela que toute suite (zn) de points de F telle que ∥x − z…
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MINKOWSKI HERMANN (1864-1909)
Auteur :
Jean-Luc VERLEY
*Mathématicien allemand né en Russie, à Alexoten, et mort à Göttingen. Hermann Minkowski habita Königsberg dès sa plus tendre enfance, et il fit ses études universitaires à Königsberg et à Berlin. De 1887 à 1902, il enseigna successivement à l'université de Bonn et à l'université de Königsberg, puis à l'École polytechnique de Zurich, où il eut comme…
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OPTIMISATION & CONTRÔLE
Auteur :
Ivar EKELAND
Dans le chapitre "Existence de solutions optimales" : …
tellement faibles qu'elles ne laisseront plus à f aucune chance d'être continue. La *convexité seule peut sauver la situation, et encore, dans certains espaces seulement. Théorème. Soit E un espace de Banach réflexif, muni de la topologie de la norme, X ⊂ E une partie convexe fermée et f : E → R ∪ {+ ∞} une…
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Bibliographie
M. Berger, Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes, C.E.D.I.C., Paris, 1978
T. Bonnesen & W. Fenchel, Theorie der konvexen Körper, Springer, Berlin, 1974
N. Bourbaki, Espaces vectoriels topologiques, Masson, 1981
J. C. Conway & M. J. Sloane, Spere Packings, Lattices and Groups, Springer-Verlag, New York, 1987
H. T. Croft, K. J. Falconer & R. K. Guy, Unsolved Problems in Geometry, ibid., 1991
B. Grünbaum, Convex Polytopes, New York, 1967
L. Joly, Les Polyèdres : réguliers, semi-réguliers et composés, A. Blanchard, 1979
V. Klee dir., Convexity, Proceedings of 7th Symposium of the American Mathematical Society held at the University of Washington, Seattle, 1963, repr. A.M.S., Providence, 1979
S. Lang, Analyse réelle, Interéditions, 1977
H. Moulin, La Convexité dans les mathématiques de la décision, Hermann, 1979
P. & S. Pearce, Polyhedra Primer, Dale Seymour Publ., Palo Alto (Calif.), 1978.
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