Dans la conception intuitive de l'espace usuel, il n'y a pas d'origine privilégiée ; c'est une fois qu'une origine est choisie que cet espace devient un espace vectoriel. La structure d'espace affine formalise cette situation à partir de la notion de translation associée à un vecteur d'extrémités données, défini comme bipoint. Plus précisément, la structure affine se définit comme suit.
Espace affine. Soit E un espace vectoriel sur un corps commutatif K. Un ensemble A est dit espace attaché à l'espace E s'il est muni d'une application de A × E dans A, notée (M, x ) ↦ M + x, telle que le groupe additif de E opère simplement transitivement sur A. Autrement dit, à (M, x) ∈ A × E correspond un point N de A et un seul, tel que N = M + x ; et à un couple quelconque de points (M, N) de A × A, que l'on désigne sous le nom de bipoint, correspond dans E un vecteur x(appelé opérateur de translation de A) et un seul, tel que N = M + x. Ce vecteur x se note MN. Deux bipoints AB et CD sont dits équipollents si AB = CD.
Soit O un point quelconque de A. Le couple (A, O) s'appelle espa […]
