Dans la conception intuitive de l'espace usuel, il n'y a pas d'origine privilégiée ; c'est une fois qu'une origine est choisie que cet espace devient un espace vectoriel. La structure d'espace affine formalise cette situation à partir de la notion de translation associée à un vecteur d'extrémités données, défini comme bipoint. Plus précisément, la structure affine se définit comme suit.
Espace affine. Soit E un espace vectoriel sur un corps commutatif K. Un ensemble A est dit espace attaché à l'espace E s'il est muni d'une application de A × E dans A, notée (M, x ) ↦ M + x, telle que le groupe additif de E opère simplement transitivement sur A. Autrement dit, à (M, x) ∈ A × E correspond un point N de A et un seul, tel que N = M + x ; et à un couple quelconque de points (M, N) de A × A, que l'on désigne sous le nom de bipoint, correspond dans E un vecteur x (appelé opérateur de translation de A) et un seul, tel que N = M + x. Ce vecteur x se note MN. Deux bipoints AB et CD sont dits équipollents si AB = CD.
Soit O un point quelconque de A. Le couple (A, O) s'appelle espace affine muni de l'origine O. L'application de A dans E, définie par M ↦ x = OM, est une bijection qui permet d'identifier l'espace A muni de l'origine O à l'espace vectoriel E.
Réciproquement, par l'application qui à tout couple de vecteurs (x, y) de E associe le vecteur x + y, l'ensemble E devient un espace affine attaché à l'espace vectoriel E. Le vecteur nul de E s'appelle origine canonique de l'espace affine E.
Si l'espace E est de dimension finie, on pose dim (A) = dim (E).
Variété linéaire affine. Un sous-ensemble A′ ⊂ A est appelé variété linéaire affine (ou variété linéaire) de l'espace affine A si, pour toute famille finie de points de A′, tout barycentre de ces points appartient à A′. Une condition nécessaire et suffisante pour qu'une partie non vide A′ de A soit une variété linéaire affine est que, en prenant un point O quelconque dans A′, l'ensemble des vecteurs OM, où M ∈ A′, soit un sous-es […]
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