TRESSES, mathématiques

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Issues d'une intuition physique naturelle, les tresses sont des objets mathématiques fascinants, qui apparaissent dans des domaines aussi divers que l'algèbre, la topologie, la géométrie, les équations différentielles, ou encore la physique théorique et la cryptographie. Assez simples pour être accessibles à l'étude, mais en même temps assez compliquées pour donner lieu à des développements intéressants, les tresses fournissent des exemples parfaits de la diversité des approches possibles d'une même notion.

On fait généralement remonter l'étude mathématique des tresses à un article écrit par Emil Artin (1898-1962) en 1926, et c'est aujourd'hui un domaine très actif, où se côtoient résultats profonds et questions ouvertes difficiles. En particulier, l'étude des tresses est directement à l'origine du remarquable renouveau de la théorie des nœuds depuis les années 1980.

Approche élémentaire

Le début de la théorie est facile et naturel: il s'agit de dégager une notion mathématique de tresse, et de construire sur les tresses une multiplication qui en fasse un groupe.

Tresses géométriques

Une tresse, ce sont des brins qui se croisent, avec la seule contrainte que les brins ne rebroussent pas chemin et conservent une même direction générale, par exemple de haut en bas, ou de gauche à droite (fig. 1).

Tresse matérielle

Tresse matérielle

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Une tresse matérielle. 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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On peut modéliser une tresse à n brins comme la réunion de n courbes de ℝ3 reliant les points (1, 0, 0), ..., (n, 0, 0) aux points (1, 0, 1), ..., (n, 0, 1) et coupant en n points chaque plan z = a pour 0 ≤ a ≤ 1 (fig. 2). Une telle figure sera appelée tresse géométrique à n brins.

Tresse géométrique

Tresse géométrique

Dessin

Une tresse géométrique. 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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À partir de deux tresses géométriques à n brins β1 et β2, on en obtient une nouvelle en plaçant β1 au-dessus de β2 et en comprimant la figure pour qu'elle tienne entre les plans z = 0 et z = 1. Le résultat, noté β1β2, est appelé produit de β1 et β2 (fig. 3).

Produit de tresses

Produit de tresses

Dessin

Produit de deux tresses géométriques. 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Isotopie

Si, dans une tresse matérielle souple, on bouge les brins en laissant les extrémités fixes, l'objet change, mais pas sa structure topologique, par exemple le fa [...]


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Tresse matérielle

Tresse matérielle
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Tresse géométrique

Tresse géométrique
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Produit de tresses

Produit de tresses
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Isotopie de tresses géométriques

Isotopie de tresses géométriques
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Écrit par :

  • : professeur à l'université de Caen et à l'Institut universitaire de France

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NŒUDS (THÉORIE DES)

  • Écrit par 
  • Jean BRETTE
  •  • 1 926 mots
  •  • 11 médias

Dans le chapitre « Nœuds, chaînes, tresses et polynômes »  : […] Intuitivement et mathématiquement, deux nœuds sont dits équivalents si l'on peut déformer l'un pour lui donner la forme de l'autre. Si l'on s'en tient au sens commun, tous les nœuds sont équivalents : on peut toujours défaire un nœud quelconque et le transformer ainsi en un segment, que l'on peut alors renouer pour obtenir n'importe quel autre nœud ! Il en va différemment si l'on recolle au préala […] Lire la suite

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Pour citer l’article

Patrick DEHORNOY, « TRESSES, mathématiques », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 25 février 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/tresses-mathematiques/