TRESSES, mathématiques

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Quelques propriétés des groupes de tresses

La multiplicité des approches vers les groupes de tresses fournit de nombreux outils pour étudier ceux-ci. Il est hors de question d'être exhaustif, et, à titre d'exemple, on mentionnera seulement quelques résultats sur la résolution du problème d'isotopie.

Peignage des tresses pures

C'est en partant directement des tresses géométriques qu'Artin a fourni la première solution au problème d'isotopie. Notons d'abord que, si les permutations associées à deux mots de tresses w et w' diffèrent, alors certainement w ≡ w' est faux. On en déduit que, pour résoudre le problème d'isotopie générale, il suffit de savoir reconnaître si un mot de tresse w codant une tresse pure représente ou non la tresse triviale. L'effacement du n-ième brin dans une tresse pure à n brins fournit une tresse pure à n-1 brins, et il en résulte que toute tresse pure à n brins peut s'écrire de façon unique comme le produit d'une tresse pure à n-1 brins (avec un n-ième brin non tressé) et d'une tresse où le n-ième brin va faire des tours autour des n-1 premiers brins qui restent rectilignes (fig. 17). Cette décomposition exprime que le groupe Pn est un produit semi-direct du groupe Pn-1 et d'un groupe libre à n-1 générateurs, et on peut en déduire une solution du problème d'isotopie, un mot de tresse pur w représentant la tresse triviale si son peignage aboutit au mot vide.

Peignage d'une tresse pure

Peignage d'une tresse pure

Dessin

Peignage d'une tresse pure. 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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La théorie de Garside

L'étude algébrique des groupes de tresses part de la présentation d'Artin et repose sur le fait que Bn est le groupe de fractions d'un monoïde intéressant.

On a vu que le groupe Bn admet la présentation:

(*)

.

Alors le monoïde Bn+ de présentation (*) se plonge dans Bn et il correspond aux tresses où tous les croisements ont même orientation. De plus, Bn est groupe de fractions de Bn+: tout élément de Bn est quotient de deux éléments de Bn+. Un rôle majeur est joué par la tresse Δn, dont le carré engendre le centre de Bn pour n ∗ 3 (fig. 18).

Tresse fondamentale ?n

Tresse fondamentale ?n

Dessin

La tresse fondamentale ?5. 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Disons qu'une tresse b1 divise une tresse b2 s'il existe b dans Bn+ vérifiant b2 = b1b, et appelons simple toute tresse divisant Δn dan [...]


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Tresse matérielle

Tresse matérielle
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Tresse géométrique

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Produit de tresses

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Isotopie de tresses géométriques

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Écrit par :

  • : professeur à l'université de Caen et à l'Institut universitaire de France

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  • Jean BRETTE
  •  • 1 926 mots
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Dans le chapitre « Nœuds, chaînes, tresses et polynômes »  : […] Intuitivement et mathématiquement, deux nœuds sont dits équivalents si l'on peut déformer l'un pour lui donner la forme de l'autre. Si l'on s'en tient au sens commun, tous les nœuds sont équivalents : on peut toujours défaire un nœud quelconque et le transformer ainsi en un segment, que l'on peut alors renouer pour obtenir n'importe quel autre nœud ! Il en va différemment si l'on recolle au préala […] Lire la suite

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Pour citer l’article

Patrick DEHORNOY, « TRESSES, mathématiques », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 26 février 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/tresses-mathematiques/