LIE SOPHUS (1842-1899)

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La théorie des groupes de Lie

Sous le nom de « groupes finis et continus », Lie étudie des groupes de transformations analytiques sur l'espace Cn des n variables complexes x1, ..., xn,

dépendant « effectivement » de r paramètres complexes a1, ..., ar. Par la suite, il étudiera aussi, sous le nom de groupes infinis et continus, certains ensembles de transformations dépendant d'une infinité de paramètres (qui, en fait, ne sont pas des groupes). L'étude de Lie repose essentiellement sur la linéarisation qui introduit ce qu'on appelle l'algèbre de Lie du groupe. Si l'on obtient la transformation identique de l'espace Cn pour un choix a01, ..., a0r, la formule de Taylor au premier ordre :
introduit la transformation infiniment petite :

k = 1par intégration du système différentiel :

on obtient alors le groupe à un paramètre :
que Lie montre être un sous-groupe du groupe initial.

La méthode infinitésimale de Lie consiste en l'étude des opérateurs différentiels linéaires :

qu'il appelle transformations infinitésimales et dont l'ensemble forme, pour le crochet, l'algèbre de Lie du groupe ; un habile usage de la formule de Taylor au second ordre lui permet d'obtenir l'expression fondamentale donnant le crochet de deux telles transformations infinitésimales (cf. groupes - Groupes de Lie). Tout ce qui précède fait le lien entre la théorie des groupes continus ainsi obtenue et les transformations de contact et la théorie des équations aux dérivées partielles.

À partir de 1874, Lie développe systématiquement la méthode infinitésimale et élabore un véritable « dictionnaire » de correspondances entre les propriétés du groupe et les propriétés de l'algèbre de Lie ; il dégage clairement le caractère local de l'algèbre de Lie dont la donnée permet seulement, en général, d'obtenir un « morceau » de groupe de transformation et établit ainsi les résultats du tableau de correspondances donné dans l'article groupes - Groupes de Lie, chap. 5.

Selon Nicolas Bourbaki, voici les trois principaux théorèmes obtenus pa [...]


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Écrit par :

  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Pour citer l’article

Jean-Luc VERLEY, « LIE SOPHUS - (1842-1899) », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 05 novembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/sophus-lie/