PRIX ABEL 2016

Le théorème de Fermat

En 1637, le Français Pierre de Fermat énonce la conjecture suivante : « Il n’existe pas de solution entière pour l’équation xⁿ + yⁿ = zⁿ quand n est strictement plus grand que 2.  » Pour n = 2, par exemple, avec le triplet (x,y,z) = (3,4,5), on a bien 9 + 16 = 25. C’est ensuite, pour n > 2, que la démonstration devient des plus ardues. Tous les cubes ne sont pas la somme d’un cube… Certes, Fermat avait écrit en latin en marge d’un exemplaire des Arithmétiques de Diophante, qui donne la description de tous les cas possibles, sa célèbre citation : « J’ai une démonstration extraordinaire de cette proposition, mais la marge est trop étroite pour la contenir. » Mais Fermat ne laissa aucune indication sur sa démonstration, et on pense qu’il n'en avait aucune. Pendant des siècles, des générations de mathématiciens se heurtèrent à la difficulté en apportant toutefois chacun une pierre à l’édifice qu’allait prouver Wiles. Un des premiers fut une femme, Sophie Germain (1776-1831). Le théorème qui porte son nom énonce une condition nécessaire : si n est un nombre premier (supérieur à 2 et inférieur à 100 pour Sophie Germain) tel que 2n + 1 est un nombre premier, alors un triplet d’entiers (x, y, z) ne peut vérifier l’équation de Fermat (xⁿ + yⁿ = zⁿ ) que si n divise l’un des trois entiers. Cette démonstration est importante, car elle permet déjà de réduire le nombre de solutions du dernier théorème de Fermat.