ONDELETTES

Qu'y a-t-il de commun entre le stockage numérique des empreintes digitales effectué par le F.B.I., la compression des images pour la télévision haute définition et le téléphone vidéo, le stockage ou la transmission de résultats de mesures sismiques, l'analyse des grandes structures galactiques, la modélisation des cascades d'énergie dans des écoulements hydrodynamiques fortement turbulents, ou encore la détection des ondes gravitationnelles ? Fondamentalement rien, si ce n'est que tous ces problèmes – et bien d'autres encore – sont susceptibles d'être traités en utilisant une famille de méthodes mathématiques, génériquement appelées méthodes temps-fréquence, et, en particulier, l'analyse par ondelettes.

Qu'est-ce qu'une ondelette ? En schématisant à l'extrême, nous dirons qu'une ondelette est l'idéalisation mathématique d'une note de musique. De même que l'on représente une œuvre musicale sous forme de séries de notes portées sur une partition, de même on peut songer à utiliser des « notes mathématiques » pour représenter certains objets mathématiques, tels des fonctions ou des signaux. De même qu'une note de musique est un « morceau de son », apparaissant à un instant donné, d'une durée donnée et d'une hauteur donnée, de même une note mathématique est un objet auquel on associe des caractéristiques physiques telles que leur localisation dans le temps, leur durée et leur hauteur.

L'analyse par ondelettes a été introduite au début des années 1980 pour les besoins des études sismiques en prospection pétrolière. Il s'agissait à l'époque de donner une représentation des signaux permettant de faire apparaître simultanément des informations temporelles (localisation dans le temps, durée) et fréquentielles, facilitant par là l'identification des caractéristiques physiques de la structure géologique à l'origine du signal. Les ondelettes n'ont depuis lors cessé de se développer et de trouver de nouveaux champs d'application. C'est ainsi qu'est apparu un parallèle étonnant entre ces méthodes et des techniques développées à des fins totalement différentes dans le domaine du traitement des images, mais aussi des théories mathématiques dont les objectifs n'ont aucun lien apparent – comme des problèmes d'analyse mathématique pure, ou d'autres liés à la quantification de certains systèmes classiques ou, plus récemment, concernant les statistiques.

Avec quelques années de recul, il apparaît que ce sont ces origines « scientifiquement cosmopolites » qui ont donné à la théorie toute sa richesse et sa beauté, en même temps que se dessinaient ses vastes domaines d'application.

1. La musique des mathématiques

La partition de Fourier

Les ondelettes, ces notes mathématiques, sont à comparer aux sinusoïdes sur lesquelles repose l'analyse de Fourier (ou analyse spectrale) usuelle.Dans un certain sens, une sinusoïde est une note totalement idéalisée, associée à une fréquence « infiniment pure », mais à laquelle on ne saurait affecter de notion temporelle précise (instant de départ, durée) : une sinusoïde n'a ni début ni fin.

L'analyse de Fourier nous enseigne qu'un signal quelconque peut s'écrire comme une somme de telles sinusoï•des, de fréquences et d'amplitudes variables. Un signal est entièrement caractérisé par l'ensemble des amplitudes des sinusoïdes, qui forme ce que l'on appelle sa « transformée de Fourier ». La transformée de Fourier est porteuse de précieuses informations sur le signal analysé ; elle contient en fait toutes les informations disponibles. On sait par exemple que, si elle n'a que de faibles valeurs pour des valeurs élevées de la variable de fréquence, cela signifie que le signal varie lentement. Inversement, si elle prend des valeurs importantes pour les hautes fréquences, le signal contient une quantité non négligeable de hautes fréquences, et donc varie rapidement, au moins dans certaines zones. Et c'est précisément là que nous touchons du doigt l'une des limitations importantes de l'analyse de Fourier usuelle. La transformée de Fourier du signal est incapable de localiser les portions du signal dans lesquelles les variations sont rapides ainsi que celles où elles sont lentes.

La partition de Gabor

Un prototype d'analyse par ondelettes avait été proposé au milieu des années 1940 par le physicien Dennis Gabor, qui en 1971 reçut le prix Nobel de physique [...]

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