FONCTION, mathématiques

Carte mentale

Élargissez votre recherche dans Universalis

Depuis l'introduction en mathématique du mot « fonction » et de la notation y = f (x) par Gottfried Wilhelm Leibniz en 1692, à propos de parties de droites dépendant d'un point variable sur une courbe, cette notion, déjà présente implicitement dans la pensée de mathématiciens du xviie siècle comme René Descartes (1596-1650), a été précisée en évoluant vers une plus grande généralité, jusqu'à ce que Maurice Fréchet lui donne en 1909 son aspect définitif, la variable et les valeurs de la fonction appartenant à des ensembles quelconques.

Il s'agit d'exprimer mathématiquement l'idée intuitive d'associer, selon une certaine règle, certains objets avec d'autres ou avec eux-mêmes.

Une fonction étant une correspondance particulière, et certaines fonctions étant des applications, voire des applications particulières que sont les injections, les surjections et les bijections, il faut préciser chacune de ces notions.

Soient E et F deux ensembles, distincts ou non (et quelconques, en particulier finis ou non).

Pour favoriser une compréhension intuitive, supposons que E et F soient des ensembles de personnes humaines et considérons la situation « envoi de courrier par des personnes de E à des personnes de F », par voie postale ou électronique. Le modèle mathématique de cette situation est une correspondance (au sens mathématique). Une correspondance de E vers F est un triplet (E, F, G) tel que G soit une partie du produit cartésien E×F, c'est-à-dire de l'ensemble des couples (xy) où x appartient à E et y à F ; les ensembles E, F et G sont appelés respectivement ensemble de départ (ou ensemble source), ensemble d'arrivée (ou ensemble but) et graphe de la correspondance (E, F, G). La notation (xy) ∈ G (où le signe ∈ se lit « appartient à ») traduit alors le fait que la personne x (de E) a envoyé au moins un courrier à la personne y (de F).

Supposons que chaque personne de E soit n'envoie aucun courrier, soit en envoie à une seule personne de F. Cette situation se traduit mathématiquement par le fait que la correspondance a une propriét [...]


1  2  3  4  5
pour nos abonnés,
l’article se compose de 3 pages


Écrit par :

  • : éditeur, diplômé en sciences de l'éducation, mathématique, économie, philosophie, ethnologie et bibliothéconomie

Classification


Autres références

«  FONCTION, mathématiques  » est également traité dans :

ALGÉBRIQUES STRUCTURES

  • Écrit par 
  • Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
  •  • 34 159 mots

Dans le chapitre « Correspondances, relations binaires, fonctions, applications »  : […] Soient E et F deux ensembles, distincts ou non. Une correspondance de E vers F est un triplet (E, F,  G ) tel que G soit une partie de E×F ; les ensembles E, F et G sont appelés respectivement ensemble de départ (ou ensemble source ), ensemble d'arrivée (ou ensemble but ) et […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/structures-algebriques/#i_30426

ANALYSE MATHÉMATIQUE

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 8 744 mots

Dans le chapitre « La théorie des fonctions analytiques »  : […] La notion de fonction remonte au xvii e  siècle ; mais jusque vers 1800, on admettait généralement qu'une fonction f d'une variable réelle, définie dans un intervalle, était indéfiniment dérivable, sauf en un nombre fini de points exceptionnels. On peut, pour une telle fonction, et pour tout point non ex […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/analyse-mathematique/#i_30426

BAIRE RENÉ-LOUIS (1874-1932)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 332 mots

Les travaux du mathématicien français René-Louis Baire portent principalement sur la théorie des fonctions de variables réelles. Ancien élève de l'École normale supérieure, Baire enseigna d'abord à l'université de Montpellier. En 1905, il vint faire au Collège de France ses célèbres Leçons sur les fonctions discontinues , rédigées par A. Denjoy. Cette même année, il succède à […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/rene-louis-baire/#i_30426

BOLZANO BERNARD (1781-1848)

  • Écrit par 
  • Jan SEBESTIK
  •  • 3 612 mots

Dans le chapitre « Le système de la « Grössenlehre » et les « Paradoxes de l'infini » »  : […] La Grössenlehre , qui date quant à l'essentiel des années 1830-1834, représente la réalisation, inachevée, du grand projet de Bolzano de donner un exposé rigoureusement scientifique de la mathématique à partir de ses premiers concepts et selon les normes de la Wissenschaftslehre . Quoique Bolzano revienne à la définition traditionnelle de la mathématiqu […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/bernard-bolzano/#i_30426

CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire

  • Écrit par 
  • René TATON
  •  • 11 508 mots
  •  • 3 médias

Dans le chapitre « La notion de fonction »  : […] Ce débat, qui ne sera vraiment tranché qu'au xix e  siècle, apparaît, sous un autre angle, comme une étape importante dans la mise au point progressive de la notion de fonction. Celle-ci, implicite dans la pensée de nombreux mathématiciens du xvii e  siècle, de Descartes en particulier, fut explic […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-infinitesimal-histoire/#i_30426

CANTOR GEORG (1845-1918)

  • Écrit par 
  • Hourya BENIS-SINACEUR
  •  • 2 887 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Cantor et Dedekind, une relation déterminante »  : […] Une fonction périodique d’une variable réelle s’écrit-elle de manière unique comme série convergente de fonctions trigonométriques ? Heinrich Eduard Heine (1821-1881), collègue de Cantor à Halle, pose cette question. Cantor la résout affirmativement pour le cas des fonctions continues dans son mémoire « Sur l’extension d’un théorème de la théorie des séries trigonométriques » publié en 1872 dans […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/georg-cantor/#i_30426

ENSEMBLES THÉORIE DES

  • Écrit par 
  • André ROUMANET, 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 8 743 mots
  •  • 20 médias

Dans le chapitre « Définitions »  : […] On revient à la situation générale de deux ensembles E et F et d'une relation de source E et de but F. Nous dirons qu'une relation de source E et de but F est une application de E dans F si, pour tout élément x ∈ E, il existe un unique élément y ∈ F tel que la relation soit vraie pour ( x […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/ensembles-theorie-des-theorie-elementaire/#i_30426

ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES (notions de base)

  • Écrit par 
  • Yves GAUTIER
  •  • 1 580 mots
  •  • 2 médias

Beaucoup de phénomènes peuvent être décrits par une fonction. Par exemple, le déplacement d’un mobile dans l’espace peut être défini par une fonction f ( x y z ) où les coordonnées x , y et z correspondent à tous les points de l’espace oc […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/equations-aux-derivees-partielles-notions-de-base/#i_30426

EULER LEONHARD (1707-1783)

  • Écrit par 
  • Christian HOUZEL, 
  • Jean ITARD
  •  • 2 813 mots

Dans le chapitre « Mécanique, physique, astronomie »  : […] Euler a publié de nombreux ouvrages relatifs à la technique. En 1736, paraît son traité de mécanique, Mechanica sive motus scientia analytice exposita , où, pour la première fois, la mécanique du po […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/leonhard-euler/#i_30426

FOURIER JOSEPH (1768-1830)

  • Écrit par 
  • Louis CHARBONNEAU
  •  • 1 865 mots

Dans le chapitre « L'œuvre mathématique »  : […] L'originalité de Fourier réside principalement dans sa théorie de la propagation de la chaleur dans un solide. Sur le plan purement mathématique, les résultats sont de deux ordres : d'une part, la résolution des équations aux dérivées partielles en attribuant aux conditions aux bornes l'importance qui leur revient, d'autre part, la représentation d'une «  fonction arbitraire » par une série trigo […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/joseph-fourier/#i_30426

HARMONIQUE ANALYSE

  • Écrit par 
  • René SPECTOR
  •  • 5 770 mots

Lorsqu'on fait vibrer, dans des conditions idéales, une corde de longueur  l , fixée en ses extrémités d'abscisses 0 et l , l'équation aux dérivées partielles : est vérifiée, où u ( x , t ) est une fonction dont la valeur représente, à l'instant  t , le déplacement tr […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/analyse-harmonique/#i_30426

INFINI, mathématiques

  • Écrit par 
  • Jean Toussaint DESANTI
  •  • 10 364 mots

Dans le chapitre « Spinoza »  : […] Or cet effort de réflexion se poursuit sur une corde raide. Une distorsion de plus en plus grande se manifeste entre la racine métaphysique du concept et les exigences de thématisation liées à l'usage du calcul infinitésimal, et plus généralement à l'usage d'opérations mathématiquement bien définies. Déjà Spinoza, dans une lettre à Louis Meyer (cf.  lettre xii ), avait pr […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/infini-mathematiques/#i_30426

INTRODUCTIO IN ANALYSIN INFINITORUM (L. Euler)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 196 mots

C'est à l'Académie des sciences de Berlin que Leonhard Euler (1707-1783) publie en 1748 le premier des trois grands traités didactiques où il expose sa conception du calcul différentiel et intégral. L' Introductio in analysin infinitorum met au premier plan le concept de fonction défini comme « une expression analytique composée d'une manière quelconque d'une quantité variab […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/introductio-in-analysin-infinitorum/#i_30426

ITÉRATION, mathématique

  • Écrit par 
  • Jean-Paul DELAHAYE, 
  • Universalis
  •  • 876 mots

Itérer signifie recommencer, faire à nouveau. Construire les nombres entiers peut être vu comme l'opération consistant à partir de zéro à itérer indéfiniment l'ajout d'une unité. Plus généralement, en mathématiques, lorsqu'une fonction ou opération est disponible, il est fréquent d'en envisager l'itération, celle-ci conduisant soit à de nouvelles fonctions ou opérations, soit à des structures ou p […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/iteration-mathematique/#i_30426

JORDAN CAMILLE (1838-1921)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 1 554 mots

Dans le chapitre « Analyse »  : […] L'enseignement de Jordan à l'École polytechnique, puis au Collège de France, l'amène à préciser de nombreuses notions de la théorie des fonctions de variable réelle et son Cours d'analyse de l'École polytechnique , dont la première édition date de 1880, contribuera à former des générations de mathématiciens. Citons Henri Lebesgue : « Qu'est-ce qu'une aire ? se demande Jordan […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/camille-jordan/#i_30426

LANGLANDS ROBERT (1936- )

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 1 086 mots
  •  • 1 média

Le prix Abel 2018 décerné par l’Académie norvégienne des sciences et des lettres, qui depuis 2003 récompense un mathématicien dont les « contributions sont reconnues comme extraordinairement profondes et influentes pour les sciences mathématiques », a couronné le Canadien Robert Phelan Langlands pour son « programme visionnaire reliant la théorie des représentations des groupes à la théorie des […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/langlands-robert-1936/#i_30426

LEBESGUE HENRI (1875-1941)

  • Écrit par 
  • Lucienne FÉLIX
  •  • 2 262 mots

Dans le chapitre « Classification des fonctions »  : […] René Baire, en répétant des passages à la limite indéfiniment et même transfiniment, avait discerné des propriétés que Lebesgue nomme « qualitatives », pour les distinguer des propriétés numériques, qui établissent une hiérarchie dans une très vaste famille de fonctions dites « fonctions de Baire ». D'autres familles de fonctions, rebelles à l'intégrale de Riemann, peuvent être envisagées grâce à […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/henri-lebesgue/#i_30426

LIMITE (mathématique)

  • Écrit par 
  • Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
  •  • 1 203 mots

La notion mathématique de limite a été introduite en 1735 par le mathématicien anglais Benjamin Robins comme ce vers quoi tendent, sans jamais l'atteindre, certains rapports de quantités variables. Précisée en 1800 par le mathématicien et physicien allemand Carl Friedrich Gauss pour les suites de nombres réels, puis en 1823 par le mathématicien français Augustin-Louis Cauchy, qui la met à la base […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/limite/#i_30426

LUZIN NIKOLAÏ NIKOLAÏEVITCH (1883-1950)

  • Écrit par 
  • Jean LOUVEAUX
  •  • 846 mots

Mathématicien russe. Né à Tomsk, le 9 décembre 1883, Nikolaï Luzin poursuit ses études secondaires dans cette ville jusqu'en 1901, puis part pour Moscou étudier les mathématiques à l'université, sous la direction de D. F. Egorov. En 1906, il est à Paris où il suit les cours de la Sorbonne et du Collège de France. De retour à Moscou, il prépare une maîtrise (1910), et devient professeur assistant à […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nikolai-nikolaievitch-luzin/#i_30426

NOTATION MATHÉMATIQUE

  • Écrit par 
  • Hans FREUDENTHAL
  •  • 10 388 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Les fonctions »  : […] L'emploi mathématique du terme de fonction date de la correspondance de Leibniz avec Johann Bernoulli. Les auteurs sont conscients du fait que, parmi quelques variables, l'une peut être une fonction de l'autre et ils rendent, s'il est possible, cette dépendance explicite ; mais des signes de fonction y sont très rares (Johann Bernoulli, 1718 : ϕ x , ϕ fonction de […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/notation-mathematique/#i_30426

OSGOOD WILLIAM FOGG (1864-1943)

  • Écrit par 
  • Jeanne PEIFFER
  •  • 503 mots

Mathématicien américain, né à Boston et mort à Belmont (Massachusetts), William Fogg Osgood a joué un rôle important dans le développement de la recherche aux États-Unis. Osgood est entré au collège de Harvard en 1882 et, à l'exception de quelques années passées dans les universités allemandes, il y fera toute sa carrière. Au départ, il fut surtout influencé par les professeurs de physique théoriq […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/william-fogg-osgood/#i_30426

SCHWARTZ LAURENT (1915-2002)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 807 mots

Né à Paris le 5 mars 1915 et décédé le 4 juillet 2002, le mathématicien Laurent Moïse Schwartz a été une des personnalités scientifiques françaises marquantes du xx e  siècle. Chercheur au rayonnement international indiscuté (lauréat de la médaille Fields en 1950), pédagogue exceptionnel, il fut aussi, aux yeux du public, un intellectuel engagé. I […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/laurent-schwartz/#i_30426

SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES

  • Écrit par 
  • Jean-Pierre KAHANE
  •  • 5 481 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Aperçu historique »  : […] Quoique certaines sommes de séries trigonométriques aient déjà été calculées par L. Euler (cf. analyse harmonique ), on peut considérer que l'histoire des séries trigonométriques remonte à la solution, donnée par D.  Bernoulli, du problème des cordes vibrantes . Le problème est de calculer le mouvement d'une corde, de longueur […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/series-trigonometriques/#i_30426

THÉORIE DES DISTRIBUTIONS (L. Schwartz)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 199 mots

Professeur à l'université de Nancy, Laurent Schwartz (1915-2002) fonde la théorie mathématique des distributions dans un article intitulé « Généralisation de la notion de fonction, de dérivation, de transformation de Fourier et applications mathématiques et physiques ». Il donne une interprétation unifiée des nombreuses fonctions généralisées introduites auparavant par des mathématiciens ou des ph […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-des-distributions/#i_30426

Pour citer l’article

Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN, « FONCTION, mathématiques », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 16 octobre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/fonction-mathematiques/