FONCTION, mathématiques

Depuis l'introduction en mathématique du mot « fonction » et de la notation y = f (x) par Gottfried Wilhelm Leibniz en 1692, à propos de parties de droites dépendant d'un point variable sur une courbe, cette notion, déjà présente implicitement dans la pensée de mathématiciens du xvii^e siècle comme René Descartes (1596-1650), a été précisée en évoluant vers une plus grande généralité, jusqu'à ce que Maurice Fréchet lui donne en 1909 son aspect définitif, la variable et les valeurs de la fonction appartenant à des ensembles quelconques.

Il s'agit d'exprimer mathématiquement l'idée intuitive d'associer, selon une certaine règle, certains objets avec d'autres ou avec eux-mêmes.

Une fonction étant une correspondance particulière, et certaines fonctions étant des applications, voire des applications particulières que sont les injections, les surjections et les bijections, il faut préciser chacune de ces notions.

Soient E et F deux ensembles, distincts ou non (et quelconques, en particulier finis ou non).

Pour favoriser une compréhension intuitive, supposons que E et F soient des ensembles de personnes humaines et considérons la situation « envoi de courrier par des personnes de E à des personnes de F », par voie postale ou électronique. Le modèle mathématique de cette situation est une correspondance (au sens mathématique). Une correspondance de E vers F est un triplet (E, F, G) tel que G soit une partie du produit cartésien E×F, c'est-à-dire de l'ensemble des couples (x, y) où x appartient à E et y à F ; les ensembles E, F et G sont appelés respectivement ensemble de départ (ou ensemble source), ensemble d'arrivée (ou ensemble but) et graphe de la correspondance (E, F, G). La notation (x, y) ∈ G (où le signe ∈ se lit « appartient à ») traduit alors le fait que la personne x (de E) a envoyé au moins un courrier à la personne y (de F).

Supposons que chaque personne de E soit n'envoie aucun courrier, soit en envoie à une seule personne de F. Cette situation se traduit mathématiquement par le fait que la correspondance a une propriété particulière qui en fait une fonction. Une fonction de E dans F est une correspondance (E, F, G) de E vers F telle que, pour tout x appartenant à E, il existe au plus un y appartenant à F tel que (x, y) appartienne à G. Lorsque f = (E, F, G) est une fonction, on convient en général d'écrire « y = f (x) » pour signifier « (x, y) ∈ G », l'élément y de F est appelé valeur de la fonction f en x et la partie D de E telle que, pour tout x appartenant à D, il existe un seul y appartenant à F tel que (x, y) appartienne à G, est appelée ensemble de définition de f.

Supposons que chaque personne de E envoie du courrier à une seule personne de F. Cette situation se traduit mathématiquement par le fait que la fonction a une propriété particulière qui en fait une application. Une application de E dans F est une fonction f = (E, F, G) de E dans F telle que, pour tout x appartenant à E, il existe un seul y appartenant à F tel que (x, y) appartienne à G, c'est-à-dire une fonction dont l'ensemble de définition D est confondu avec l'ensemble de départ E.

Une loi de composition est une application du produit cartésien E×E' de deux ensembles (distincts ou non) dans un ensemble F. Si E' = F = E, c'est une loi de composition interne dans E. Si E' = F ≠ E (respectivement si E = F ≠ E'), c'est une loi de composition externe à gauche (respectivement à droite) sur F avec E (respectivement E') comme ensemble d'opérateurs à gauche (respectivement à droite), plus souvent appelée loi d'action à gauche (respectivement à droite) de E (respectivement E') sur F.

Lorsque l = (E×E, E, G) est une loi de[...]