SYMBOLIQUE CALCUL

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Transformation en z

Soit a une suite réelle ou complexe définie sur l'ensemble N des entiers positifs ou nuls. On appelle transformée en z de cette suite la fonction de variable complexe :

Il existe R ∈ [0, + ∞] tel que cette série soit absolument convergente pour |z| > R. Le produit de composition c = a * b de deux suites a et b sur N est défini par :

et les transformées en z de a, b, c sont liées par la relation C(z) = A(z)B(z). En particulier, l'opérateur dit opérateur d'avancement E, qui associe à toute suite a la suite Ea telle que Ea(n) = a(n − 1), est un opérateur de convolution :
où δk est la suite égale à 1 pour n = k et nulle ailleurs.

En posant b = Ea, on a la relation entre les transformées en z de a et b :

Le tableau donne quelques transformées en z de suites simples. L'utilisation pratique de la transformation en z suppose de disposer de tables beaucoup plus importantes.

Transformées en z de suites simples

Tableau : Transformées en z de suites simples

Tableau

Quelques transformées en z de suites simples. 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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L'usage de la transformation en z permet la résolution des équations de récurrence linéaires à coefficients constants et plus généralement des équations de convolution sur N. Pour l'inversion de la transformation en z, on utilise généralement l'intégration dans le plan complexe. La transformation en z est largement utilisée pour l'étude des systèmes asservis à temps discret (souvent dénommés « échantillonés »).

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Transformées de Laplace

Transformées de Laplace
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Automatique : application de la transformation de Laplace

Automatique : application de la transformation de Laplace
Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Transformées en z de suites simples

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CLEBSCH RUDOLF FRIEDRICH ALFRED (1833-1872)

  • Écrit par 
  • Jeanne PEIFFER
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Le mathématicien allemand Rudolf Friedrich Alfred Clebsch est né le 19 janvier 1833 à Königsberg (auj. Kaliningrad) et mort le 7 novembre 1872 à Göttingen. Il fit ses études à l'université de sa ville natale (1850-1854). Quoique Jacobi ne donnât plus de cours, l'école qu'il avait fondée était toujours florissante et parmi les professeurs de Clebsch on compte F. Richelot et O. Hesse, élèves de Jaco […] Lire la suite

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Pour citer l’article

Robert PALLU DE LA BARRIÈRE, « SYMBOLIQUE CALCUL », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 03 février 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-symbolique/