SYMBOLIQUE CALCUL

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Applications de la transformation de Laplace

L'application la plus répandue de la transformation de Laplace est la résolution des équations de convolution, et en particulier des équations différentielles linéaires à coefficients constants. Soit l'équation de convolution a * x = b, où a, b et x sont des fonctions à support positif. Si a, b, x ont des transformées de Laplace A, B, X, on aura :

c'est-à-dire :

La résolution de l'équation de convolution se ramène donc à la résolution d'une équation algébrique et à la recherche d'un élément ayant une transformée de Laplace donnée. Il est intéressant de noter que, pour les distributions à support positif, la convolution n'a pas de diviseurs de zéro. Une équation de convolution sur R+ ne peut donc avoir qu'une solution. Si l'usage de la transformation de Laplace fournit une solution (c'est-à-dire si a et b ont des transformées de Laplace et si B(p)/A(p) est la transformée de Laplace d'une distribution), celle-ci est l'unique solution de l'équation.

Exemple 1. Soit à résoudre l'équation différentielle :

avec les conditions initiales :

Si l'on ne s'intéresse qu'aux valeurs de x(t) pour ≥ 0, on peut aussi bien supposer x(t) = 0 pour < 0, à condition naturellement de supposer que le second membre est remplacé par 0 pour < 0. Les conditions initiales indiquent alors des discontinuités de x(t) et de dx/dt pour t = 0 ; et, pour en tenir compte, il suffit d'introduire les dérivées au sens des distributions :

L'équation différentielle se récrit alors :

c'est-à-dire :

Soit X la transformée de Laplace de x. On obtient :

d'où :
et :
Exemple 2. Soit à résoudre l'équation :
avec x à support positif. C'est une équation de convolution * x = b, avec a(t) = Y(t) sin t et b(t) = Y(t)t2. En prenant les transformées de Laplace, on obtient :
d'où l'on déduit :
Exemple 3. En automatique, tout organe linéaire invariant dans le temps établit une relation de la forme s = f * e entre l'entrée e et la sortie s. Pour des raisons physiques, f est à support p [...]


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Transformées de Laplace

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Automatique : application de la transformation de Laplace

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Transformées en z de suites simples

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CLEBSCH RUDOLF FRIEDRICH ALFRED (1833-1872)

  • Écrit par 
  • Jeanne PEIFFER
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Le mathématicien allemand Rudolf Friedrich Alfred Clebsch est né le 19 janvier 1833 à Königsberg (auj. Kaliningrad) et mort le 7 novembre 1872 à Göttingen. Il fit ses études à l'université de sa ville natale (1850-1854). Quoique Jacobi ne donnât plus de cours, l'école qu'il avait fondée était toujours florissante et parmi les professeurs de Clebsch on compte F. Richelot et O. Hesse, élèves de Jaco […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/rudolf-friedrich-alfred-clebsch/#i_13123

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Pour citer l’article

Robert PALLU DE LA BARRIÈRE, « SYMBOLIQUE CALCUL », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 20 janvier 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-symbolique/