SYMBOLIQUE CALCUL

Transformation de Laplace des distributions

Soit T une distribution à support positif telle que T = D^kf, où f est une fonction pour laquelle Lf a une abscisse de convergence absolue ξ₀ ≠ + ∞. On posera :

pour Rep > ξ₀.

On montre aisément la cohérence de cette définition et la compatibilité avec les définitions antérieures. On obtient en particulier Lδ^(k)(p) = p^k. La généralisation aux distributions possédant la propriété indiquée des règles obtenues pour les fonctions et les mesures est aisée et donne les résultats suivants :

a) La transformée de Laplace d'une distribution T est holomorphe dans un demi-plan Re p > α, et l'on a :

b) On a :

en particulier si l'on fait U = δ^(k), on obtient :

c) On a :

Le tableau donne les transformées de Laplace les plus usuelles.

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