ALGÈBRE THÉORÈME FONDAMENTAL DE L' ou THÉORÈME DE D'ALEMBERT

Jean Robert Argand, comptable à Paris, était un mathématicien amateur qui avait gagné une solide réputation scientifique en publiant en 1806 (à ses frais et sans que son nom apparaisse sur la couverture) un petit livre où il développait une représentation géométrique des nombres complexes. Huit ans plus tard, il en tire une preuve remarquable de simplicité (mais néanmoins entachée de quelques imprécisions) de ce qu'on appelle le théorème fondamental de l'algèbre. Argand cite ce théorème sous la forme : « tout polynôme xⁿ + a x^n—1 + ... est décomposable en facteurs du premier ou du second degré ». Argand range les démonstrations précédentes en deux classes : « Les unes se fondent sur certains principes métaphysiques relatifs aux fonctions et aux renversements d'équations, principes sans doute vrais en eux-mêmes, mais qui ne sont point susceptibles d'une démonstration rigoureusement dite. Ce sont des espèces d'axiomes... ». Quant aux autres qui « attaquent de front la proposition », il rappelle que Lagrange lui-même, « ce grand géomètre, a démontré [...] que les raisonnements existant étaient incomplets ». Argand offre donc à son lecteur « une démonstration à la fois directe, simple et rigoureuse » à partir de la théorie des lignes dirigées, c'est-à-dire de la représentation géométrique des nombres complexes. Il insiste sur le fait que les règles qu'il adopte sont indépendantes de l'opinion qu'on peut avoir sur la théorie des nombres complexes, et qu'on peut même dire « si l'on veut » que le symbole correspondant à la racine carrée de – 1, « appelé quelquefois absurde » (on dit aujourd'hui « imaginaire ») n'est « rien du tout », à condition toutefois de ne pas l'égaler à zéro. Invitant le lecteur à tracer une figure pour suivre sa démonstration, Argand représente alors la valeur du polynôme pour un x donné par une ligne orientée KP, et il démontre qu'il existe un x pour lequel le point P coïncide avec K.

— Bernard PIRE