SINGER ISADORE MANUAL (1924- )

Né le 3 mai 1924 à Detroit (États-Unis), le mathématicien américain Isadore Manual Singer a fait ses premières études universitaires à l'université du Michigan et ses études doctorales à l'université de Chicago. Après avoir, en 1950 sous la direction d'Irving Segal (1918-1998), soutenu sa thèse sur les algèbres de Lie des opérateurs non bornés, il rejoint le département de mathématiques du Massachusetts Institute of Technology où il accomplira la quasi-totalité de sa carrière. Spécialiste de l'analyse, Singer s'intéresse particulièrement à la théorie des variétés complexes, généralisation des surfaces de Riemann au cas de plusieurs variables. Il invente avec Richard V. Kadison les algèbres d'opérateurs triangulaires. Avec Warren Ambrose (1914-1996), il analyse les propriétés des variétés riemaniennes homogènes et démontre en 1958 un important théorème sur l'holonomie. Avec Shlomo Zvi Sternberg, il obtient en 1965 des résultats originaux sur les groupes transitifs infinis de Lie-Cartan. Son nom est également associé à un invariant de torsion analytique dans les variétés complexes, découvert avec Daniel Burrill Ray. Avec Henry P. McKean, il découvre en 1967 une profonde interprétation géométrique du noyau de l'équation différentielle décrivant la propagation de la chaleur, décrite dans l'article « Courbure et valeurs propres du Laplacien » paru dans le Journal de géométrie différentielle. En 1978, Singer clarifie les propriétés d'autodualité en géométrie riemanienne quadridimensionelle.

L'œuvre principale de Singer est réalisée grâce à une longue collaboration avec le mathématicien britannique Michael Atiyah (né en 1929), collaboration initiée lors d'un séjour sabbatique au printemps 1962 à l'université d'Oxford. Ces travaux se situent dans le cadre de la K-théorie, un domaine de la topologie algébrique qui étudie les propriétés des espaces fibrés vectoriels. En 1963, Atiyah et Singer démontrent leur célèbre théorème de l'indice dans un court article titré « L'Indice des opérateurs elliptiques sur les variétés compactes », publié dans le bulletin de la Société américaine de mathématiques. Ils généralisent leur résultat, en publiant en 1968 et 1971 une suite de cinq articles dans les Annales de mathématiques. Ce théorème démontre que le nombre de solutions indépendantes d'un système d'équations différentielles est égal à son indice topologique, entier qui décrit précisément la forme de la région où le modèle mathématique s'applique. En 1968, ils démontrent également un théorème du point fixe qui généralise la formule obtenue en 1926 par Solomon Lefschetz (1884-1972) pour déterminer s'il existe des points fixes des applications continues d'un espace sur lui-même. Les applications du théorème de l'indice se révéleront extrêmement nombreuses, dans divers domaines des mathématiques et en physique théorique, et vaudront à leurs auteurs de partager le prix Abel 2004.