4. Analyse
L'enseignement de Jordan à l'École polytechnique, puis au Collège de France, l'amène à préciser de nombreuses notions de la théorie des fonctions de variable réelle et son Cours d'analyse de l'École polytechnique, dont la première édition date de 1880, contribuera à former des générations de mathématiciens. Citons Henri Lebesgue : « Qu'est-ce qu'une aire ? se demande Jordan. Qu'est-ce qu'un volume, une intégrale, la longueur d'un arc de courbe ? Qu'est-ce même qu'une courbe ou un domaine ? Jordan étudie ces questions en mathématicien et non en métaphysicien... Après lui, on ose étudier les fonctions réelles générales, un peu oubliées au cours du xixe siècle ; on avoue de nouveau que l'analyse a pour but l'étude du réel, de celui même qui ne se laisse pas prolonger dans le domaine complexe. » À la même époque que Giuseppe Peano, Jordan introduit les notions de mesures intérieure et extérieure et définit les ensembles quarrables pour lesquels ces deux nombres sont égaux. On lui doit aussi la notion de fonction à variation bornée, qui lui permet de donner une définition correcte de la longueur d'une courbe et d'obtenir sous sa forme générale le théorème de convergence des séries de Fourier ; mais le résultat le plus célèbre est celui qui affirme qu'une courbe fermée « simple » (dite, de nos jours, courbe de Jordan) sépare le plan en deux régions.
Signalons enfin, pour terminer, que Jordan, précurseur de Henri Poincaré, a écrit plusieurs mémoires d'Analysis situs, c'est-à-dire de topologie combinatoire. On lui doit une démonstration, devenue classique, du théorème d'Euler sur les polyèdres et le fait que deux surfaces de même genre sont applicables l'une sur l'autre (ce qui, comme l'a montré Poincaré, n'est pas vrai en général pour les hypersurfaces).
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