3. Algèbre linéaire et théorie des nombres
En plus des résultats donnés ci-dessus relatifs au groupe linéaire, on doit à Jordan un exposé complet de la géométrie euclidienne réelle à n dimensions par des méthodes entièrement analytiques : notion de perpendicularité, angles, distances y sont introduits, comme de nos jours, à partir d'une forme bilinéaire. Les considérations infinitésimales de Jordan sur le groupe orthogonal sont le premier exemple d'une telle approche d'un groupe « continu » et, avec un mémoire sur les « groupes de mouvements », préfigurent les idées développées quelques années plus tard par Sophus Lie. Mentionnons enfin des travaux sur la réduction des formes bilinéaires et des formes quadratiques et sur la théorie des invariants.
Les résultats les plus importants obtenus par Jordan en théorie des nombres sont relatifs aux formes à coefficients entiers (ou à coefficients entiers de Gauss). Par des majorations généralisant celles d'Hermite, il montre que, si une telle forme F est de degré m > 2 et de discriminant non nul, le sous-groupe de GL(n, C) laissant F invariante est fini. Pour m = 2, il montre qu'il n'existe qu'un nombre fini de classes d'équivalence de formes quadratiques de discriminant donné (deux formes étant équivalentes si on passe de l'une à l'autre par une substitution modulaire à coefficients entiers).
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