Mathématicien et physicien russe, membre de l'Académie des sciences. Après des études à l'université de Saint-Pétersbourg, il est assistant puis professeur à l'université de Kharkov. En 1902, il est nommé professeur à l'université de Saint-Pétersbourg.
Élève de P. L. Tchebychev, c'est le représentant le plus remarquable de l'école mathématique fondée par celui-ci. Il a créé une théorie moderne rigoureuse de la stabilité et du mouvement des systèmes mécaniques déterminés par un nombre fini de paramètres. Du point de vue mathématique, ce problème se ramène à l'étude du comportement limite des solutions d'un système d'équations différentielles ordinaires quand la variable indépendante tend vers l'infini. La stabilité était définie par Liapounov par rapport aux perturbations des données initiales du système. Avant Liapounov, les problèmes de stabilité étaient habituellement résolus en linéarisant les équations différentielles et en négligeant tout ce qui était d'ordre supérieur. Le mérite essentiel de Liapounov, dans sa thèse qui reste fondamentale, est d'avoir élaboré une méthode générale pour la solution des problèmes de stabilité. Dans cet ouvrage (1892), il donne une définition rigoureuse des notions fondamentales de cette théorie, sépare les cas où peut s'appliquer l'approximation du premier ordre de quelques cas importants, analysés en détail, où elle ne peut s'appliquer.
Il établit une série de résultats importants, relatifs à la stabilité : existence de solutions périodiques d'une certaine base de systèmes d'équations différentielles non linéaires et constructions de telles solutions ; étude qualitative du comportement des courbes intégrales des équations du mouvement au voisinage de la position d'équilibre.
Liapounov a étudié également les figures d'équilibre d'un fluide homogène ou légèrement hétérogène en rotation et dont les particules s'attirent selon la loi de gravitation. Il a établi l'existence de figures elliptiques (seule hypothèse reconnue précédemment) et découvert aussi celle de figures non elliptiques mais proches de celles-ci. Il a étudié alors la stabilité de ces figures d'équilibre dans le cas d'un liquide homogène.
En physique mathématique, Liapounov s'est intéressé au problème de Dirichlet, où sa contribution essentielle concerne le potentiel de double couche (ou de dipôles) et le comportement des dérivées de la solution près de la surface limite. Il démontre le premier la symétrie de la fonction de Green, qui intervient dans la solution.
En théorie des probabilités, Liapounov propose une nouvelle méthode de recherche, celle des fonctions caractéristiques. Il généralise les résultats de P. L. Tchebychev et de A. A. Markov et démontre le théorème central limite pour des conditions plus générales.
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