GROMOV MIKHAËL (1943- )

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Le mathématicien Mikhaël Leonidovitch Gromov, dit Misha Gromov, est né le 23 décembre 1943 à Boksitogorsk (Union soviétique), près de Saint-Pétersbourg (alors Leningrad), où il accomplit ses études supérieures, exerçant ensuite à l'université de la ville comme professeur assistant de 1967 à 1974. Dans sa thèse, préparée sous la direction de Vladimir Rokhlin (1919-1984), il unifie et généralise de nombreux théorèmes de géométrie différentielle, en découvrant une méthode topologique (le h-principe) pour construire des solutions d'équations aux dérivées partielles. Il met notamment en valeur la portée d'un procédé d'analyse qu'avait introduit John Forbes Nash (1928-2015) quelques années auparavant. Ces résultats spectaculaires font aussitôt de lui l'un des leaders du groupe de topologie. De 1974 à 1981, il est professeur à l'université de New York à Stony Brook (États-Unis), puis, de 1981 à 1982, à l'université de Paris-VI. Depuis 1982, il est professeur permanent à l'Institut des hautes études scientifiques à Bures-sur-Yvette, près de Paris. Parallèlement, il est titulaire de la chaire Jay Gould au Courant Institute de New York.

Mikhäel Gromov a été élu membre associé étranger de l'Académie des sciences de Paris en 1989, puis membre en 1997. Il a obtenu la nationalité française en 1992. Il est aussi membre de l'Académie des sciences américaines, ainsi que de l'Académie américaine des arts et sciences. Il a été invité quatre fois au Congrès international des mathématiciens, dont en 1986 pour une conférence plénière. Il a reçu de très nombreux prix scientifiques, dont le prix Wolf (1993), le prix Balzan (1999), le prix Kyōto (2002), le prix Frederic Esser Nemmers (2004) décerné par la Northwestern University (Evanston, Illinois) et le prix Abel 2009 « pour ses contributions révolutionnaires à la géométrie ».

Mikhaël Gromov est l'un des plus grands géomètres contemporains et nous devrons revenir sur ce mot, crucial en l'occurrence, de « géométrie ». Il a rédigé plus de cent articles et plusieurs livres. L'ensemble de son œuvre écrite couvre plusieurs milliers de pages, ce critère quantitatif n'étant que le pâle reflet d'une créativité mathématique hors du commun. Sur Internet, Mikhaël Gromov présente sa liste de publications en la classant par thèmes (pas moins de quinze !), d'une variété incroyable : méthodes géométriques en équations aux dérivées partielles, topologie algébrique quantitative, géométrie riemannienne et sous-riemannienne, géométrie symplectique, théorie des groupes discrets, groupes aléatoires, théorie ergodique, etc. Plus récemment, il s'est intéressé aux aspects mathématiques de la génétique et de la biologie moléculaire.

Dans géométrie, il y a les deux mots grecs , « terre », et metron, « mesure ». De l'étude de la Terre, les mathématiciens sont passés à celle des espaces, comme façon de penser « une collection d'objets presque quelconques, mathématiques ou physiques, par exemple les états d'un système mécanique », pour reprendre les propres mots de Gromov lors de son discours de réception à l'Académie des sciences de Paris. Toutefois, pour avoir un véritable objet mathématique, on a besoin d'une structure plus forte, possédant une symétrie particulière. Il en est ainsi des structures riemanniennes, symplectiques, complexes, etc., évoquées plus haut. Plus généralement, Gromov a montré l'importance de la « structure métrique » constituée de la donnée de la longueur des courbes tracées sur cet espace, structure qu'il a étudiée systématiquement dans un de ses livres et qu'un observateur rigoureux, tel Carl Friedrich Gauss (1777-1855) dans les années 1820, peut entreprendre de déterminer précisément.

On voit alors apparaître une « géométrie locale », voire « infinitésimale », matérialisée par exemple dans la notion fondamentale de courbure. D'après un théorème fondamental de Gauss justement, c'est la courbure qui gouverne la somme des angles aux sommets d'un triangle géodésique tracé sur une surface : dans le plan, elle vaut π, mais elle est supérieure à π en courbure positive, par exemple sur la sphère, où elle est constante, égale à l'inverse du rayon, et inférieure à π en courbure négative, par exemple sur un hyperboloïde. C'est aussi la courbure de la sphère qui interdit d'avoir des cartes géographiques planes respectant rigoureusement les distances.

Reprenons les mots de Gromov : « l'objectif principal de la géométrie consiste en une étude systématique de tous les types possibles. Beaucoup de [ses] recherches suivent cette route, où l'on part de l'information locale [...] et où on veut arriver à une information globale ». Par exemple la forme de l'Univers à partir de sa courbure ! Gromov a ainsi démontré que si la courbure d'un espace riemannien compact est, disons, partout positive, ses nombres de Betti sont majorés par une expression qui ne dépend que de la dimension de cet espace. Cela contraint très fortement sa géométrie.

Gromov a par ailleurs développé, à partir de 1985, une théorie de courbes dites pseudo-holomorphes dans les variétés symplectiques, ce qui l'a amené à définir les « invariants de Gromov-Witten », des nombres rationnels liés aux propriétés topologiques de ces variétés. Plus récemment, Gromov s'est impliqué dans le développement des interactions des mathématiques avec la biologie, élaborant en particulier des modèles géométriques du fonctionnement électrophysiologique du cœur.

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Antoine CHAMBERT-LOIR, « GROMOV MIKHAËL (1943- ) », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 25 novembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/mikhael-gromov/