Les progrès réalisés dans le domaine non linéaire sont beaucoup plus récents. On connaît cependant à leur sujet un critère d'évolution général régissant le comportement d'un système dissipatif, soumis à des contraintes stationnaires (Paul Glansdorff et Ilya Prigogine, 1954).
1. Critères d'évolution et de stabilité
Après décomposition de la production d'entropie dP en deux termes, sous la forme :
avec :
on établit que le terme
dXP possède un signe défini, soit
dXP ≤ 0, le signe d'égalité se rapportant à l'état stationnaire. Ce critère exprime d'ailleurs une généralisation du théorème du minimum de production d'entropie puisque, dans le domaine linéaire décrit ci-dessus, on a pour les mêmes contraintes stationnaires :
avec des coefficients phénoménologiques L
ij constants. Bien que non variationnel, car
dXP n'est généralement pas réductible à la différentielle exacte d'un potentiel, ce critère présente de l'intérêt pour l'étude de la
stabilité des états, stationnaires ou non, éloignés de l'équilibre. Le degré de généralité de ce nouveau critère n'est guère limité que par l'hypothèse préalable de l'équilibre local défini par la relation (13) de l'article relatif aux lois fondamentales et de la stabilité de cet équilibre (loi de Gibbs, condition C
V > 0, etc.). On montre que la différentielle seconde δ
2S de l'entropie devient une forme quadratique définie négative (en variables énergie, volume, titres). On peut, dès lors, adopter cette expression comme fonction de Liapounoff et en déduire un critère de stabilité par rapport aux petites perturbations sous la forme :
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