3. L'équation relativiste de l'électron
L'équation de Dirac relative à l'électron fut décrite pour la première fois dans deux articles publiés au début de l'année 1928. Dirac y exprime la relation de la relativité restreinte d'Einstein, E2 = m2c4 + p2c2, entre l'énergie E, la masse m et l'impulsion p, sous une forme linéaire appropriée à une interprétation en mécanique quantique.
Dans ce but, il introduit un ensemble de quatre matrices hermitiennes αi (i = x, y, z) et β à quatre lignes et quatre colonnes. Ces matrices, qu'on appelle les matrices de Dirac, ont les propriétés suivantes :
(ce sont les propriétés d'anticommutation), et α
2i = β
2 =
1, où
1 est la matrice unité 4 × 4. Du point de vue de la mécanique quantique et par le principe de correspondance (cf. physique
quantique), les grandeurs
E et
pi (
i =
x,
y,
z), les trois composantes du vecteur impulsion, deviennent des opérateurs :
où
x,
y,
z et
t sont les coordonnées d'espace-temps ; ℏ =
h/2π,
h étant la constante de Planck et
c la vitesse de la lumière. L'équation de Dirac, pour un électron libre, prend alors la forme :
ce qui exige à la fonction d'onde
ψ(
x,
y,
z,
t ) d'être un vecteur à quatre composantes. En étudiant des propriétés de cette équation, Dirac montra que le vecteur fonction d'onde
ψ décrit un état à un électron de […]
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