Le mathématicien Jacques Hadamard (né à Versailles, mort à Paris) a eu une grande influence sur l'école française de mathématiques au début du siècle. S'il reste l'héritier de la grande tradition des analystes du xixe siècle dans ses travaux sur les fonctions analytiques, dont il tire de belles conséquences arithmétiques, il apparaît aussi comme un précurseur dans la théorie des équations aux dérivées partielles, dont il est un des fondateurs sous sa forme moderne.
1. Fonctions analytiques
Les premiers travaux d'Hadamard, à la faculté des sciences de Bordeaux, décrivent et classent les singularités du prolongement analytique de la somme d'une série entière :
à partir des propriétés de la suite (
an) des coefficients de Taylor. Introduisant la notion de limite supérieure d'une suite qui se révèle essentielle dans toutes ces questions, il donne, dans un premier mémoire de 1888, l'expression :
du rayon de convergence R dans le cas général. En fait, cette expression figurait déjà dans le
Cours d'analyse (chap.
vi) de Cauchy en 1821, mais celui-ci ne disposait pas du formalisme nécessaire pour une définition explicite de la limite supérieure. Dans sa thèse de 1892, il obtient un critère pour qu'un point du cercle de convergence soit singulier et en tire aussitôt le théorème qui affirme que la série « lacunaire » :
où la suite des entiers λ
n est telle que λ
n+1/λ
n ≥ λ > 1, admet son cercle de convergence comme
coupure, c'est-à-dire que tous les points de ce cercle sont singuliers. Introduisant les déterminants symétriques :
appelés traditionnellement déterminants d'Hadamard, il tire de l'étude des quantités :
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