Ce qu'on appelle la « théorie analytique des nombres » ne peut pas être considéré comme une théorie mathématique au sens usuel qu'on donne à ces mots, c'est-à-dire un système organisé de définitions et de théorèmes généraux accompagné d'applications à des exemples importants. Il s'agit au contraire ici presque exclusivement de problèmes particuliers qui se posent en arithmétique et qui, pour la plupart, consistent à étudier (cf. calculs asymptotiques pour la position du problème et les notations o et O de Landau) l'« allure à l'infini » de certaines fonctions définies par des conditions de nature arithmétique : par exemple le nombre π(x) de nombres premiers p ≤ x ou le nombre U(n) des solutions de l'équation x21 + x22 = n en nombres entiers. Depuis 1830, on a imaginé, pour résoudre ces questions, des méthodes d'une extraordinaire ingéniosité qui consistent à associer aux fonctions arithmétiques étudiées des fonctions analytiques auxquelles on peut appliquer la théorie de Cauchy ou l'analyse harmonique ; mais, malgré les suc […]
