Ce qu'on appelle la « théorie analytique des nombres » ne peut pas être considéré comme une théorie mathématique au sens usuel qu'on donne à ces mots, c'est-à-dire un système organisé de définitions et de théorèmes généraux accompagné d'applications à des exemples importants. Il s'agit au contraire ici presque exclusivement de problèmes particuliers qui se posent en arithmétique et qui, pour la plupart, consistent à étudier (cf. calculs asymptotiques pour la position du problème et les notations o et O de Landau) l'« allure à l'infini » de certaines fonctions définies par des conditions de nature arithmétique : par exemple le nombre π(x) de nombres premiers p ≤ x ou le nombre U(n) des solutions de l'équation x21 + x22 = n en nombres entiers. Depuis 1830, on a imaginé, pour résoudre ces questions, des méthodes d'une extraordinaire ingéniosité qui consistent à associer aux fonctions arithmétiques étudiées des fonctions analytiques auxquelles on peut appliquer la théorie de Cauchy ou l'analyse harmonique ; mais, malgré les succès spectaculaires obtenus par ces méthodes, on ne peut dire que l'on en comprenne vraiment les raisons profondes.
1. La théorie additive
• Le point de vue formel
Un monoïde est un ensemble M où est définie une loi de composition (s, t) ↦ st qui est associative et possède un élément neutre e (autrement dit es = se = s pour tout s ∈ M) ; les groupes sont évidemment des monoïdes ; d'autres exemples importants sont formés par l'ensemble N des entiers ≥ 0, avec pour loi l'addition, et l'ensemble N* des entiers > 0, avec pour loi la multiplication. Étant donné un corps commutatif K, on définit, pour tout monoïde M, l'algèbre K[M] du monoïde M sur K de la façon suivante : on définit l'espace vectoriel K[M] à l'aide d'une base (us), dite canonique, où l'ensemble d'indices est M ; puis on prend pour table de multiplication de cette base usut = ust, […]
… pour nos abonnés, l'article se prolonge sur 11 pages…
