GAMMA FONCTION

2.  Extension au champ complexe

La formule de Weierstrass (5) garde un sens lorsque la variable x prend des valeurs complexes. En effet, on montre par des majorations que le produit infini de terme général (1 + z/n)e^-z/n = 1 + u_n(z) converge normalement (cela signifie que la série de terme général u_n(z) converge normalement) dans tout disque |z| ≤ R. Ce produit infini définit donc une fonction de z analytique dans tout le plan complexe. Nous poserons par définition :

cette fonction admet les points − n, n ∈ N, pour zéros simples, et, par suite, la fonction Γ(z) est méromorphe et ses pôles, simples, sont ces points − n. La formule (9) est la factorisation de Weierstrass de la fonction entière 1/Γ (cf. fonctions analytiques – Fonctions analytiques d'une variable complexe, chap. 8).

Le principe du prolongement analytique permet alors de voir que de nombreuses formules établies ci-dessus pour x réel positif restent vraies pour z complexe. Par exemple la relation fonctionnelle s'écrit :

la formule (7) de Legendre-Gauss s'étend également. D'autre part, de (9) résulte facilement, en faisant à l'envers le calcul du chapitre 1, que l'on a pour tout z :où n^z = e^zln n est fonction entière de z. Enfin, pour tout nombre complexe z de partie réelle strictement positive, on a :l'intégrale étant uniformément convergente pou […]