GAMMA FONCTION

Extension au champ complexe

La formule de Weierstrass (5) garde un sens lorsque la variable x prend des valeurs complexes. En effet, on montre par des majorations que le produit infini de terme général (1 + z/n)e^-z/n = 1 + u_n(z) converge normalement (cela signifie que la série de terme général u_n(z) converge normalement) dans tout disque |z| ≤ R. Ce produit infini définit donc une fonction de z analytique dans tout le plan complexe. Nous poserons par définition :

cette fonction admet les points − n, n ∈ N, pour zéros simples, et, par suite, la fonction Γ(z) est méromorphe et ses pôles, simples, sont ces points − n. La formule (9) est la factorisation de Weierstrass de la fonction entière 1/Γ (cf. fonctions analytiques – Fonctions analytiques d'une variable complexe, chap. 8).

Le principe du prolongement analytique permet alors de voir que de nombreuses formules établies ci-dessus pour x réel positif restent vraies pour z complexe. Par exemple la relation fonctionnelle s'écrit :

la formule (7) de Legendre-Gauss s'étend également. D'autre part, de (9) résulte facilement, en faisant à l'envers le calcul du chapitre 1, que l'on a pour tout z :

où n^z = e^zln n est fonction entière de z. Enfin, pour tout nombre complexe z de partie réelle strictement positive, on a :

l'intégrale étant uniformément convergente pour 0 < a ≤ Re z ≤ M.

La convergence étant normale dans (9), on obtient, en prenant la dérivée logarithmique des deux membres :

pour z ≠ − n, n ∈ N, la convergence étant normale sur tout compact de C − (−N).

La formule des compléments

À partir de (11) et du développement eulérien de sin z :

on obtient l'importante « formule des compléments » due à Euler :

Appliquons, par exemple, cette formule pour z = it, t réel. On a alors Γ(1 − it ) = − it Γ(− it ) = − it Γ(it ) d'après (10), d'où |Γ(it )|² = π/t sh t.

La formule des compléments peut aussi s'obtenir directement, sans utiliser (13), à partir d'une représentation, due à Hankel, de 1/Γ(z) comme intégrale curviligne le long d'un « chemin sans fin » : cette formule (16) sert d'ailleurs dans de nombreuses questions relatives à la fonction gamma.

Formule de Hankel - crédits : Encyclopædia Universalis France — Formule de Hankel
Encyclopædia Universalis France

Désignons par U l'ensemble des nombres complexes privé des réels négatifs ou nuls. Pour z ∈ C et u ∈ U, u^z désignera la détermination principale de cette fonction dans U, soit u^z = e^zln u, où ln u représente la détermination principale du logarithme dans U, réelle pour u réel positif. Soit alors L : R → U un chemin sans fin dans U défini par L(t ) = r(t )e^iv(t), où r(t ) tend vers l'infini lorsque t tend vers ± ∞, on suppose qu'il existe ε > 0 tel que :