GAMMA FONCTION

Introduites pour la première fois comme nouvelles transcendantes par L. Euler, la fonction gamma et la fonction bêta, qui s'y ramène, sont les plus importantes « fonctions spéciales » étudiées, au fur et à mesure des besoins, depuis le xviii^e siècle. C'est ainsi que la fonction gamma intervient dans de nombreuses estimations asymptotiques des « grands nombres », en statistique notamment ; elle intervient aussi dans la théorie des séries de Dirichlet (cf. théorie des nombres-Théorie analytique des nombres, fonction zêta).

Nous avons choisi ici d'aborder la fonction gamma dans le domaine réel. Appliquant le principe du prolongement analytique (cf. fonctions analytiques – Fonctions analytiques d'une variable complexe, chap. 1), on obtient ensuite l'extension au champ complexe de la plupart des formules.

1.  La fonction gamma dans le domaine réel

Une intégration par parties montre facilement que, pour tout entier positif n, on a :

mais l'intégrale (1) garde un sens pour des valeurs non nécessairement entières de n, d'où l'idée d'extrapoler ainsi la suite des factorielles. On pose traditionnellement : (intégrale eulérienne de seconde espèce), forme due à Euler (1781). Pour x > 0, cette intégrale est convergente au voisinage de 0, car e^-tt^x-1 ∼ t^x-1 pour x tendant vers 0, avec x − 1 > − 1 ; la convergence pour l'infini résulte de la présence du terme exponentiel e^-t. En fait, on peut montrer que l'intégrale (2) et toutes les intégrales obtenues en dérivant un nombre quelconque de fois par rapport à x sous le signe d'intégration sont uniformément convergentes au voisinage de 0 et de + ∞. La fonction Γ est donc indéfiniment dérivable pour x > 0, de dérivées :