3. De la « définissabilité » aux modèles et à la décision
Après le concept de vérité, Tarski a précisé un autre concept sémantique essentiel, celui de conséquence logique, qui avait été défini pour la première fois par Bolzano, en 1837, pour la langue usuelle. Pour Tarski, en effet, l'« énoncé X suit logiquement des énoncés de la classe K si et seulement si tout modèle de la classe K est aussi un modèle de l'énoncé X ».
Tarski a apporté des renouvellements décisifs dans d'autres domaines de la logique mathématique, et d'abord avec la théorie de la définissabilité, qui revêt deux aspects : d'une part, la théorie syntaxique, qui donne une définition rigoureuse de cette notion et généralise la méthode de Padoa pour l'examen de la dépendance et de l'indépendance des concepts ; d'autre part, la théorie sémantique, liée au problème de la hiérarchie des ensembles et aussi au théorème de l'incomplétude de Gödel. Signalons ensuite les recherches de Tarski sur la théorie générale des modèles, fondée aussi bien sur la logique du premier ordre que sur certaines des généralisations du premier ordre (calcul propositionnel qui admet des formules infiniment longues ; calcul du second ordre opérant sur des ensembles finis). Dans plusieurs travaux, Tarski a étudié la complétude des théories et le problème de la décision ; il a établi la décidabilité et l'indécidabilité de certaines théories mathématiques (en particulier, il a montré que l'algèbre et la géométrie élémentaires sont des théories décidables).
Tarski a toujours accepté sans restriction, comme base de son travail logico-mathématique, la théorie des ensembles et il n'hésitait pas à recourir à des théories très fortes – ce qui lui a donné une liberté que s'interdisaient aussi bien Brouwer et les intuitionnistes que l'école de la métamathématique finitiste (Hilbert). C'est sans doute grâce à cette liberté qu'il a pu développer sa méthode sémantique et relier, dans ses travaux, la théorie des ensembles, la logique, l'algèbre et la topologie.
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