QUATRE COULEURS PROBLÈME DES

Les configurations réductibles

Appelons configuration dans une triangulation T un sous-graphe constitué d'un circuit C et des sommets et arêtes situés à l'intérieur de C dans le plan, cette partie intérieure comprenant au moins un sommet. C est appelé le circuit séparateur de la configuration. Dans une triangulation, tout sommet avec ses voisins forme une configuration. Un triangle de sommets de degré 5 qu'entoure un circuit C₆ est un autre exemple.

La proposition de Kempe, donnée plus haut, met en évidence le premier ensemble inévitable de configurations dans un graphe planaire triangulé.

Supposons que l'on puisse déduire de T une triangulation T' telle que :

– l'intérieur de C soit modifié de façon à diminuer le nombre des sommets ;

– C lui-même ne soit modifié que par l'identification de certains sommets (non consécutifs sur C) ;

– la partie extérieure à C soit isomorphe dans T et T', aux identifications de sommets de C près ;

– T' ne comporte pas de boucles.

Si la colorabilité de T' (avec quatre couleurs) implique celle de T, alors T ne sera pas une triangulation minimale, car la nécessité de cinq couleurs pour colorier T entraîne cette même nécessité pour T', qui a moins de sommets. Le sous-graphe constitué de C et de son intérieur sera défini comme une configuration réductible, et sa présence dans une triangulation suffit à démontrer que celle-ci n'est pas minimale. Si l'on parvient à montrer que toute triangulation contient une configuration réductible, on aura démontré, d'après tout ce qui précède, qu'aucun graphe planaire n'exige cinq couleurs pour le coloriage de ses sommets.

En résumé, la preuve du théorème des quatre couleurs consiste à produire un ensemble inévitable de configurations réductibles.