THERMO-IONIQUE ÉMISSION

Équation fondamentale de l'émission d'électrons

Le modèle physique décrivant l'émission d'électrons est dû à Arnold Sommerfeld. D'après ce modèle, un cristal d'un métal est assimilé à un puits de potentiel contenant un gaz dégénéré d'électrons qui occupent dans le puits de potentiel un certain nombre d'états énergétiques. On peut calculer le nombre d'états dN qui occupent une énergie comprise entre E et E + dE :

où h est la constante de Planck et m la masse de l'électron.

Les électrons, qui se déplacent librement dans le métal et occupent différents niveaux d'énergie, ne peuvent s'échapper du métal, car ils sont retenus par des forces électriques à la surface de ce dernier. Le nombre d'électrons dn par unité de volume dans le métal et leur répartition énergétique sont donnés par le produit de la fonction de distribution de Fermi f par le nombre d'états possibles dN :

où k est la constante de Boltzmann et T la température absolue.

Le facteur 2 vient du fait que deux électrons peuvent occuper chaque niveau d'énergie avec leurs signes en opposition ; W est l'énergie d'un niveau permis mesurée depuis le fond de la bande de conduction, ζ est le niveau d'énergie en dessous duquel tous les niveaux d'énergie sont occupés par des électrons à T = 0. Le nombre probable dn d'électrons ayant des vitesses comprises entre v_x et v_x + dv_x, v_y et v_y + dv_y, v_z et v_z + dv_z est :

et le nombre d'électrons n′ émis dans la direction des x s'écrit :  où D(v_x) est la probabilité pour qu'un électron approchant la barrière de potentiel à la surface du métal avec une vitesse v_x puisse passer dans le vide.

En ce qui concerne D(v_x), il est nécessaire de connaître la forme de la barrière de potentiel à la surface. À cet effet, on peut écrire que l'énergie potentielle W(x) d'un électron de charge e situé à une distance x de la surface en présence d'un champ électrique E est :

où W_a désigne l'énergie au niveau de Fermi.

Soit ΔΦ = √ eE la variation du potentiel de sortie due à l'effet de champ. En première approximation, seuls les électrons ayant une énergie supérieure à W_a − eΔΦ franchiront la barrière de potentiel et les autres seront réfléchis :

ce qui donne respectivement :si l'on a :

Cependant, cette loi n'est pas parfaite, car un petit nombre d'électrons qui ont une énergie supérieure à W_a − eΔΦ sont aussi réfléchis. On tient compte de ces effets[...]