QUASI-EMPIRISME, mathématique

La statue du portail royal de la cathédrale de Chartres, qui représente Euclide avec des instruments en main, montre clairement que, dans l'esprit des artistes et artisans du Moyen Âge, le mathématicien géomètre possède des outils et élabore son savoir en les utilisant, c'est-à-dire en se confrontant au monde réel. Pourtant, l'idée que les mathématiques sont une science à part où la démonstration dispense de l'examen des faits empiriques est généralement acceptée. Les mathématiciens eux-mêmes se satisfont très bien de cette position singulière de leur discipline, qui leur permet le plus souvent de mener seuls leurs recherches – c'est en mathématiques que le nombre moyen de signatures par article scientifique est le plus bas – et sans instruments coûteux forçant au travail en équipe et exigeant d'incessants combats auprès des autorités de financement de la recherche.

1.  Aspects expérimentaux de l'activité mathématique

Prenant le contre-pied de l'idée que les mathématiciens n'ont pas à se confronter aux faits empiriques, plusieurs philosophes et mathématiciens ont insisté sur les aspects expérimentaux et inductifs de l'activité mathématique et sur certaines similitudes entre le travail du physicien et celui du mathématicien. Ce point de vue sur les mathématiques porte le nom de quasi-empirisme et, s'il n'a été théorisé qu'assez récemment par Imre Lakatos (1922-1974) et Thomas Tymoczko (1943-1996), en réalité la pratique de l'expérimentation mathématique et la défense du parallèle entre mathématiques et physique remontent plus loin dans le temps. Carl Friedrich Gauss (1777-1855) expliquait par exemple qu'il atteignait la vérité mathématique par l'expérimentation systématique, et c'est d'ailleurs de cette façon qu'il découvrit que le nombre de nombres premiers inférieurs à n est approximativement n/log(n), affirmation qui ne fut prouvée que bien plus tard. Kurt Gödel (1906-1978), cohérent avec ses positions réalistes, remarquait que « si les mathématiques décrivent un monde  […]