MÉDAILLES FIELDS 2014

Les médailles Fields récompensent tous les quatre ans de jeunes mathématiciens dont les travaux originaux ont été particulièrement remarqués. En août 2014, à l’occasion du Congrès international des mathématiciens réuni à Séoul en Corée du Sud, quatre chercheurs ont reçu ce prix prestigieux.

Le mathématicien franco-brésilien Artur Ávila (né le 29 juin 1979 à Rio de Janeiro) est distingué pour ses contributions exceptionnelles à la théorie des systèmes dynamiques, dont le but est de déterminer la probabilité qu'un système évolue d’un état initial vers un état ayant tel ou tel comportement. Après sa thèse à l'Institut de mathématiques pures et appliquées (I.M.P.A.) de Rio de Janeiro, sous la direction du professeur Welington de Melo, et un séjour post-doctoral au Collège de France à Paris en 2001-2002 avec Jean-Christophe Yoccoz (médaille Fields 1994), il est recruté au C.N.R.S. en 2003, affecté au laboratoire de probabilités et modèles aléatoires de Paris-Jussieu. Depuis 2006, il partage son temps entre Paris et Rio grâce à une bourse du Clay Mathematics Institute,puis au sein du laboratoire international C.N.R.S.-I.M.P.A. Ávila a d’abord étudié les transformations d'un intervalle du corps des nombres réels puis la dynamique des applications du plan complexe, un problème relié à certains objets fractals comme l'ensemble de Mandelbrot. Il a ensuite résolu le cas de divers systèmes analytiques dont le comportement est non régulier, démontrant que leur dynamique est très chaotique et qu’ils se comportent de façon aléatoire. Un autre aspect de ses succès concerne les opérateurs de Schrödinger, qui décrivent l'évolution quantique d'un électron dans un champ magnétique particulier. Il est parvenu ainsi à une description globale des transitions de phase entre spectres discrets et spectres continus de ces opérateurs. Ávila a aussi prouvé plusieurs conjectures anciennes concernant la théorie des billards plats et le comportement ergodique des systèmes partiellement hyperboliques.

Le mathématicien canadien-américain d’origine indienne Manjul Bhargava, né le 8 août 1974 à Hamilton (Ontario), a fait ses études à l’université Harvard, puis à l’université de Princeton où il a soutenu sa thèse de doctorat en 2001 sous la direction d’Andrew Wiles, avant d’y être nommé professeur dès 2003. Initié par son grand-père, professeur de sanskrit à l’université du Rajasthan à Jaipur (Inde), c’est un grand connaisseur de la poésie sanskrite. Musicien talentueux, il joue du tabla, un instrument à percussion indien traditionnel. Spécialiste de théorie des nombres, Bhargava a reformulé la loi de Gauss de composition de deux formes quadratiques à deux variables (c’est-à-dire les polynômes du type ax² + bxy + cy²). Il a obtenu des résultats nouveaux en théorie de la représentation des formes quartiques. Ses études des courbes elliptiques et hyperelliptiques ont démontré la profondeur de sa compréhension des représentations des groupes arithmétiques, alliant de façon singulière une expertise étonnante en algèbre et en analyse.

Le mathématicien autrichien Martin Hairer (né le 14 novembre 1975) a obtenu son doctorat en 2001 à l’université de Genève sous la direction du physicien théoricien Jean-Pierre Eckmann. Dès son travail de thèse sur le comportement asymptotique des équations aux dérivées partielles (EDP) stochastiques, il s’intéresse à l’influence du bruit sur les solutions de ces équations qui gouvernent de nombreux phénomènes physiques. Enseignant à l’institut Courant de l’université de New York puis professeur à l’université de Warwick (Grande-Bretagne), il établit d’importants résultats dont le caractère ergodique (c’est-à-dire le fait que la valeur moyenne statistique d’une grandeur égale la moyenne d’un grand nombre de mesures successives) des solutions de l’équation stochastique de Navier Stokes qui décrit l’écoulement des fluides. Hairer a ensuite considérablement élargi la méthode des « chemins rugueux » du mathématicien britannique Terry Lyons (né en 1953), et a pu ainsi définir une théorie des structures de régularité des EDP. Cela permet de réaliser des développements en série des solutions autour de tout point et même de construire de façon systématique les solutions d’EDP stochastiques singulières non linéaires.

La mathématicienne iranienne Maryam Mirzakhani a reçu la médaille Fields pour ses contributions exceptionnelles à la dynamique et à la géométrie des surfaces de Riemann. Née en mai 1977 à Téhéran (Iran), elle obtient une médaille d’or aux olympiades internationales de mathématiques en 1994 et en 1995. Elle obtient ses premiers grades universitaires à l’université Sharif de technologie de Téhéran puis poursuit ses études doctorales à l’université Harvard (États-Unis) où elle obtient son doctorat en 2004 sur les géodésiques des surfaces hyperboliques et le volume des espaces de modules de ces courbes sous la direction du professeur Curtis Tracy McMullen (médaille Fields 1998). Après un séjour à l’université de Princeton, elle est nommée professeur à l’université Stanford (Californie) en 2008. Elle s’est distinguée en associant des méthodes développées dans divers domaines des mathématiques, de la géométrie algébrique à la topologie et à la théorie des probabilités. Cela lui a permis de résoudre diverses conjectures sur les espaces de modules et d’établir un pont entre leurs aspects holomorphes et symplectiques. Dans le domaine de la géométrie hyperbolique, elle a établi des formules asymptotiques remarquables sur le nombre de géodésiques simples fermées existant sur une surface de Riemann.

La diversité des parcours et des domaines de recherche de ces médaillés Fields démontre une fois de plus la fécondité et le caractère universel de la recherche actuelle en mathématiques.

— Bernard PIRE